Рассматривая состояние неаксиального напряжения,-как принято, выражение (А.6) можно представить в виде

а (А.8) в виде

S3 =

I dV3

(A.9)

(A. 10)

Для простоты обозначений опустим все нижние и верхние индексы в уравнении (А.5) и направление Хъ обозначим через г, v-v. Исключая Е из уравнений (А.5), получим

/ = cS-

D,

(АЛ!)

где модуль упругости с с+е[е. Дифференпируя (А.11) по г и используя (а.9), имеем

CS--D

= р Jmv.

Подставляя (АЛО) в (АЛ2) для S, получим с dv е dD

- p jmv.

(АЛ2)

(АЛЗ)

Так как D не изменяется в направлении г, то (АЛЗ) принимает вид

Уравнение (АЛ 4)-одномерное волновое уравнение, имеющее рещение

V - ai sin kz + а2 cos kz,

где волновое число волны упругости fe ра/с

Удовлетворяя в (АЛ 5) граничным условиям (А.4), находим v= - Vj. sin kz/sin kd.

Поэтому- (АЛО) принимает вид

Vj.k cos kz

sin kd

В простой форме закон Гаусса

DA=.q.

Продифференцируем (АЛ 8) по времени:

(АЛ5)

(АЛ 6)

(АЛ 7) (АЛ8) (АЛ 9)

I = jwAD.

(А.20)

Подставляя (АЛ7) для S в (АЛ1) и (А.20) для D в (А.11), получим

Т==-

v.k cos kz \

sin kd

e KjiAj

(A.21)

Удовлетворяя граничному условию T=~F/A при хз=г=0. получим

hl

j Vsin kdj Jw

Vsin kd,

(A.22)

где пьезоэлектрическая постоянная heje.

Подобным же образом удовлетворяя граничному условию 7"=-F/A при Xs=z=d, находим

AV fc

\4kd,

hi + - У»

(A.23)

Уравнения (A.22) и (A.23) совпадают, если sin fed=tg fee? или fec?<g;l. Резонансные частоты находятся из условия sinfed=0, т. е. kd=nn, п=1, 2, 3,...

Так как к~=ра)Ус, то резонансная частота первой моды, рассчитываемая по толщине диска,

п / с

(А.24)

Для тонкого пьезоэлектрического преобразователя эта резонансная частота обычно находится в мегагерцовом диапазоне Поэтому при частотах возбуждения, соответствующих работе двигателя, kd<l и sinfed»M, уравнения (А.22) и i (А.23) прини.мают вид

Ас М

(А.25)

1 Уравнение (А.25) представляет собой одно из требуемых уравнений полного сопротивления.

Второе уравнение получим, если используем тот факт, что электрическое напряжение есть интеграл от напряженности электрического поля:

v=l Esdz

или

£з = 4-- (А.26)

Теперь подставляя (А.20) для D, (А.26) для Е а (А.10) для S в (A.5a]f, получим

Ингегрируя (А.27), имеем

/dV\ I 1 \ ldV\

h I

(A.27)

(A.28)

где фиксированная геометрическая емкость Ae/d.

в матричной форме уравнения (А.25) и (А.28) примут вид

(А.29а) (А.296)

Постоянная h выражает связь между механическими и электрическими эффектами. Уравнение (А.29) есть искомое уравнение полного сопротивления.

Зная скорость vt или силу F, можно вычислить напряжение V. Эти величины зависят от особенностей использования пьезоэлектрического преобразователя и от его конструкции как механической части системы.

Уравнение (А.29) может быть использовано для разработки механической модели преобразователя. При анализе основанном на аналогии механическое сопротивление пружины 2к=Дт ш, где Кт - константа упругости. Поэтому из (А.29а) при /=0 имеем

Таким образом.

KT = Acld.

(А.30)

Далее, масса пьезоэлектрического преобразователя равна pAd, и поэтому разумно при моделировании преобразователя считать, что тело, равное его массе, подвешено на идеальной пружине с константой упругости Кт.

Уравнение (А.296) показывает, что полное сопротивление представляет со- бой емкость

С = zAjd.

(А.31)

Пироэлектрический эффект. Изменение температуры может оказать существенное влияние на напряжение, возникающее в пьезоэлектрическом кольце преобразователя. В последующем анализе предполагаем, что температура преобразователя постоянна. В большинстве случаев применения преобразователь будет работать в некотором диапазоне температуры. Все пьезоэлектрические постоянные (с, е, е, и т. п.) в некоторой степени зависят от температуры. Кроме того, в пьезоэлектрической керамике будет проявляться пироэлектрический эффект, т. е. появление электрического напряжения при увеличении температуры керамики.

Уравнения (А.29 а, б) могут быть преобразованы для того, чтобы учесть пироэлектрический эффект. Введем обозначение р для матрицы пироэлектрической постоянной (3X1):

где 6 -• температура (скалярная величина). Уравнение (А.3а) примет вид

и (А.5а) есть

£>з = Ез£з+езз5з+ре.

(А.-32) (А.ЗЗ)

Следуя ранее примененной процедуре вывода (А.11) соответствует выражение

- е ре

T=cS-- D+ -

уравнений, находим, что

(А 34)