![]() |
|
Главная Промышленная автоматика. Рассматривая состояние неаксиального напряжения,-как принято, выражение (А.6) можно представить в виде а (А.8) в виде S3 = I dV3 (A.9) (A. 10) Для простоты обозначений опустим все нижние и верхние индексы в уравнении (А.5) и направление Хъ обозначим через г, v-v. Исключая Е из уравнений (А.5), получим / = cS- D, (АЛ!) где модуль упругости с с+е[е. Дифференпируя (А.11) по г и используя (а.9), имеем CS--D = р Jmv. Подставляя (АЛО) в (АЛ2) для S, получим с dv е dD - p jmv. (АЛ2) (АЛЗ) Так как D не изменяется в направлении г, то (АЛЗ) принимает вид Уравнение (АЛ 4)-одномерное волновое уравнение, имеющее рещение V - ai sin kz + а2 cos kz, где волновое число волны упругости fe ра/с Удовлетворяя в (АЛ 5) граничным условиям (А.4), находим v= - Vj. sin kz/sin kd. Поэтому- (АЛО) принимает вид Vj.k cos kz sin kd В простой форме закон Гаусса DA=.q. Продифференцируем (АЛ 8) по времени: (АЛ5) (АЛ 6) (АЛ 7) (АЛ8) (АЛ 9) I = jwAD. (А.20) Подставляя (АЛ7) для S в (АЛ1) и (А.20) для D в (А.11), получим Т==- v.k cos kz \ sin kd e KjiAj (A.21) Удовлетворяя граничному условию T=~F/A при хз=г=0. получим hl j Vsin kdj Jw Vsin kd, (A.22) где пьезоэлектрическая постоянная heje. Подобным же образом удовлетворяя граничному условию 7"=-F/A при Xs=z=d, находим AV fc \4kd, hi + - У» (A.23) Уравнения (A.22) и (A.23) совпадают, если sin fed=tg fee? или fec?<g;l. Резонансные частоты находятся из условия sinfed=0, т. е. kd=nn, п=1, 2, 3,... Так как к~=ра)Ус, то резонансная частота первой моды, рассчитываемая по толщине диска, п / с (А.24) Для тонкого пьезоэлектрического преобразователя эта резонансная частота обычно находится в мегагерцовом диапазоне Поэтому при частотах возбуждения, соответствующих работе двигателя, kd<l и sinfed»M, уравнения (А.22) и i (А.23) прини.мают вид Ас М (А.25) 1 Уравнение (А.25) представляет собой одно из требуемых уравнений полного сопротивления. Второе уравнение получим, если используем тот факт, что электрическое напряжение есть интеграл от напряженности электрического поля: v=l Esdz или £з = 4-- (А.26) Теперь подставляя (А.20) для D, (А.26) для Е а (А.10) для S в (A.5a]f, получим Ингегрируя (А.27), имеем /dV\ I 1 \ ldV\ h I (A.27) (A.28) где фиксированная геометрическая емкость Ae/d. в матричной форме уравнения (А.25) и (А.28) примут вид (А.29а) (А.296) Постоянная h выражает связь между механическими и электрическими эффектами. Уравнение (А.29) есть искомое уравнение полного сопротивления. Зная скорость vt или силу F, можно вычислить напряжение V. Эти величины зависят от особенностей использования пьезоэлектрического преобразователя и от его конструкции как механической части системы. Уравнение (А.29) может быть использовано для разработки механической модели преобразователя. При анализе основанном на аналогии механическое сопротивление пружины 2к=Дт ш, где Кт - константа упругости. Поэтому из (А.29а) при /=0 имеем Таким образом. KT = Acld. (А.30) Далее, масса пьезоэлектрического преобразователя равна pAd, и поэтому разумно при моделировании преобразователя считать, что тело, равное его массе, подвешено на идеальной пружине с константой упругости Кт. Уравнение (А.296) показывает, что полное сопротивление представляет со- бой емкость С = zAjd. (А.31) Пироэлектрический эффект. Изменение температуры может оказать существенное влияние на напряжение, возникающее в пьезоэлектрическом кольце преобразователя. В последующем анализе предполагаем, что температура преобразователя постоянна. В большинстве случаев применения преобразователь будет работать в некотором диапазоне температуры. Все пьезоэлектрические постоянные (с, е, е, и т. п.) в некоторой степени зависят от температуры. Кроме того, в пьезоэлектрической керамике будет проявляться пироэлектрический эффект, т. е. появление электрического напряжения при увеличении температуры керамики. Уравнения (А.29 а, б) могут быть преобразованы для того, чтобы учесть пироэлектрический эффект. Введем обозначение р для матрицы пироэлектрической постоянной (3X1): где 6 -• температура (скалярная величина). Уравнение (А.3а) примет вид и (А.5а) есть £>з = Ез£з+езз5з+ре. (А.-32) (А.ЗЗ) Следуя ранее примененной процедуре вывода (А.11) соответствует выражение - е ре T=cS-- D+ - уравнений, находим, что (А 34) 0 1 2 3 4 5 6 7 [8] 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 0.0019 |