Главная Промышленная автоматика.

Р е ше н и е. В данном случае единичный вектор силы Т равен , причем знак ( + или-) выбирается в зависимости от того, отталкивается от центра силы или притягивается к нему точка М.

Таким образом, вектор силы F выразится так:

F=±f(r).

Отсюда, пользуясь формулой (161), имеем:

dA = F-dJ-=±f(r)d?.

Но 7./~=r

Следовательно,

откуда ~r.d7=rdr,

dA = ±t=±f(r)dr,

т. е. элементарная работа является полным дифференциалом и, значит, существует силовая функция, причем


Рис. 175

отсюда

dU = dA = ±f(r)dr, U=±f(r)dr.

Итак, в данном случае имеем общую формулу, по которой сразу можем определить силовую функцию в зависимости от радиуса-вектора точки приложения силы, а затем вычислить работу силы при перемещении этой точки из положения (г„) в положение М (г):

Л = f/-f/„ = f/(г) - f/(О = j ± / (г) dr.

(186)

Пример 137. Один конец пружины закреплен шарнирно в точке О, а к другому концу ее прикреплен шарик. Длина нерастянутой пружины -жесткость ее-с. Шарик перемещают из положения в положение М, причем пружина растянута и не изгибается. Определить работу силы упругости пружины, если

ОМ, = г, и ОМ, = г,

(рис. 176).

Решение. Модуль силы упругости пружины в данном случае выражается так:

F = c(r-l,) = f{r).



Следовательно, можно воспользоваться формулой (186):

= -Jc(/--gd/- =

Знак минус перед интегралом стоит потому, что сила притягивает шарик к центру О.

Пример 138. Колесо радиуса R катится без скольжения по горизонтальному рельсу. Найти работу трения качения при перемещении центра колеса на расстояние s, если вертикальная нагрузка на ось колеса равна Р и коэффициент трения качения

(рис. 177).

Ml In)

MIrl


Рис. 176


Решение. Трение качения возникает, как известно, вследствие деформаций колеса и рельса. Момент пары трения качения по закону Кулона будет равен

M, = f,N = f,P.

Так как эта пара стремится повернуть колесо в направлении, противоположном его вращению, то работа трения качения будет отрицательна и равна произведению постоянного момента на угол поворота ф колеса [по формуле (172)]:

Л = -М,ф = -/,Рф.

При качении колеса без скольжения имеем: 8 = Яц>. Следовательно,

S.

Пример 139. К валу длиною /, один конец которого закреплен жестко, приложен на свободном конце крутящий момент, который заставляет вал испытывать деформацию кручения. Определить работу возникающих при этом сил упругости, если суммарный момент упругих сил пропорционален углу закручивания, причем коэффициент пропорциональности (коэффициент



жесткости вала на кручение) равен с. Определить также потенциальную энергию этого вала в зависимости от угла закручивания (рис. 178).

Решение. Момент сил упругости выражается формулой

Отсюда, на основании формулы (172), имеем:

Следовательно,

dA = dU = - сфс?ф.

Л=-5сфф=-(ф-ф).

Для потенциальной энергии имеем:

dn = - dU = Сф ф,

а потому

Я = +С.

Пример 140. Для определения натяжений S, и ветвей конвейерной ленты привод А конвейера установлен на катки и

включен динамометр D между приводом и неподвижной стойкой С.

Определить натяжения и Sg, если показание динамометра равно Р (в ньютонах), диаметр приводного барабана d, потребляемая электродвигателем привода мощность равна N и приводной барабан делает п оборотов в минуту (рис. 179).


Рис. 178

Решение. Рассматривая равновесие действующих на привод сил и пренебрегая трением между катками и опорной плоскостью, имеем:

2x = s.+s,-p = o,

«УД S,+S, = P. (а)

Так как привод барабана вращается равномерно, то вращающий момент на валу двигателя, очевидно, определится так:





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 [100] 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

0.0046