Главная Промышленная автоматика.

Из этого уравнения определяется скорость о, если пройденный путь известен, или, наоборот, по заданной скорости v определяется пройденный путь а.

Пример 142. Вагонетка движется самокатом вниз по наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол а (рис. 180).

Определить скорость вагонетки в конце пути, длина которого равна /; начальная скорость вагонетки &„ = 0, коэффициент общего сопротивления движению f.

Решение. На вагонетку действуют сила тяжести P = mg, нормальная реакция N наклонной плоскости и сила сопротивления движению F = fN. Применяя теорему о кинетической энергии на пути длиной I, имеем:

Аp = mgh = mgl sina, /"

Ap = - Fl = - fm. /

----------------

Для определения нормального Рис. 180

давления вагонетки на наклонную

плоскость вес вагонетки Р разлагаем на две составляющие, направленные вдоль наклонной плоскости и перпендикулярно к ней.

Последняя составляющая и определяет нормальное давление на плоскость, равное нормальной реакции этой плоскости.

Следовательно, N = mg cos а и Ар = - /mucosa/. Таким образом, уравнение кинетической энергии принимает вид:

~- = rngl sin а-ftnglcos а = mgl (sin a-/cosa),

откуда

V = Y 2gl (sin a - / cos a).

Следует заметить, что при решении некоторых задач можно одновременно применять теорему о кинетической энергии и теорему о количестве движения. Это относится к задачам, в которых рассматривается движение под действием постоянной силы (задачи 678, 775, 776, 779) или силы, зависящей от скорости (задачи 687, 689, 693, 696), причем требуется определить и время, и путь движения точки. Для определения времени движения следует применить теорему о количестве движения, а при определении пути-теорему кинетической энергии.

Пример 143. Телу весом Р, лежащему на горизонтальной плоскости, сообщают начальную горизонтальную скорость у„.



Во сколько времени и на каком расстоянии остановится тело, если коэффициент трения тела о плоскость равен /?

Решение. Так как в задаче требуется определить время движения и расстояние, пройденное телом до остановки, то при решении этой задачи проще всего воспользоваться и теоремой о количестве движения, и теоремой о кинетической энергии. Так как скорость тела в момент остановки равна нулю, то, применяя теорему о количестве движения, имеем:

откуда

Ftp gF., •

По закону Кулона сила трения F = fN, причем в данном случае N = P. Следовательно, / = .

Далее, применяя теорему о кинетической энергии, имеем: где а-путь, пройденный телом до остановки. Отсюда находим:

2gf гр 2fe •

Вторая группа

Точка движется прямолинейно под действием силы, которая является функцией абсциссы этой точки

В этом случае X = f{x), следовательно, по формуле (191)

---2-"==J/(x)dx;

имеем:

это уравнение, устанавливающее зависимость между v к х, позволяет найти величину х, если скорость v известна, или, наоборот, зная X, определить v.

Пример 144. Клеть весом Р опускается на канате равномерно со скоростью о„. Внезапно верхний конец каната защемляется. Определить наибольшее удлинение каната после защемления, если его статическое удлинение под действием веса клети равно Я,, (рис. 181).

Решение. На клеть действуют две силы: сила веса Р и сила упругости каната F = cX, где с-жесткость каната, - его удлинение. Пока клеть опускается равномерно, удлинение каната равно статическому удлинению (/, = >»„) и сила Р урав-



новешивается силой упругости каната, т. е. откуда

и, следовательно,

Положение центра тяжести клети в момент защемления каната выбираем за начало координат и ось х направляем по вертикали вниз. После защемления каната, благодаря его способности деформироваться, клеть продолжает опускаться. В момент, когда удлинение каната достигает максимальной величины, скорость клети обращается в нуль. Обозначая через X проекцию на ось X равнодействующей сил, приложенных к клети, и учитывая, что к = Х.-\-х, имеем:

"ст/

X = P-F = P-K = P-{x + \) = -

Применяя теорему о кинетической энергии, имеем:


р С р

Xdx= - \xdx = - т»--

V cт J -CI

Но при Х = Х„ поэтому

скорость клети v равна нулю;"

= 7-Х„

откуда

Следовательно,

Рис. 181

Третья группа

Точка движется прямолинейно под действием силы, являющейся функцией скорости этой точки

В этом случае X = f{v) и теорему о кинетической энергии применяют в дифференциальной форме:

d[)==Xdx = f{v)dx.





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 [102] 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

0.0036