Главная Промышленная автоматика.

Прежде чем интегрировать, здесь нужно разделить переменные, что даст:

V dv , с V dv

ГйУ = Отсюда: m j = х - х„.

»0

Выполнив интегрирование и решив полученное после этого уравнение относительно v, находим скорость как некоторую функцию от X, т. е. и = Ф(х). Если в задаче требуется найти

закон прямолинейного движения точки, то, заменяя у на ,

получим:

или, разделяя переменные,

отсюда

«о

Это уравнение устанавливает зависимость между л: и т. е. дает искомый закон движения материальной точки.

В некоторых случаях, когда действующая на материальную точку сила зависит от скорости этой точки, закон движения точки можно найти несколько проще, применяя совместно и теорему о количестве движения и теорему о кинетической энергии.

Если X=f(v), то, применяя теорему о количестве движения в дифференциальной форме, имеем*:

Отсюда, интегрируя, получаем уравнение вида:

(р (у) = (а)

Применяя затем теорему о кинетической энергии, в дифференциальной форме, получим:

f (V)

Отсюда, интегрируя, имеем:

я1)(у) = л:-(б) Исключая теперь из уравнений (а) и (б) переменную v, нахо-

* См. § 1 настоящей главы.



ДИМ зависимость между координатой х и временем t, т. е. находим искомый закон движения.

Пример 145. В момент, когда скорость моторного судна равна v. выключается мотор. Сила сопротивления воды определяется по эмпирической формуле:

/? = аи + ру=,

.где а и р - постоянные. Масса судна равна т. Найти расстояние, которое пройдет судно с момента выключения мотора до остановки.

Решение. Направляем ось х в сторону движения судна и выбираем начало координат в той точке, где находился центр тяжести судна в момент выключения мотора. Проекция на ось х Еилы сопротивления, приложенной к судну, равна

Так как эта сила является функцией скорости, то применяем теорему о кинетической энергии в дифференциальной форме:

Разделяя переменные, получим:

mdv j --г~5- = ах.

Обозначая о путь, пройденный судном, и учитывая, что в начале этого пути скорость судна равна а в конце обращается в нуль, имеем:

о Do о »

откуда

» = fln(,+i..).

Пример 146. Материальная точка массы т, получив начальную скорость движется по горизонтальной, абсолютно глад-, кой плоскости, испытывая сопротивление среды, определяемое формулой R = kmYv, где у-скорость точки. Найти закон движения точки.

Решение. Рассмотрим решение этой задачи при помощи совместного применения теоремы о количестве движения и теоремы о кинетической энергии. .



Принимая начальное положение точки за начало координат и направляя ось х в сторону движения точки, находим:

X = - R = - kmVv.

Применяя теорему о количестве движения и теорему о кинетической энергии в дифференциальной форме, имеем:

d {mv) = Xdt = - km Vvdt

diXdx - kmVidx, или, разделяя переменные и сокращая их на т:

L = - kdt и Vvdv = - kdx,

интегрируя эти уравнения, находим:

t V к

Отсюда

f= = -k\dt, Vvdv = ~kdx.

Vq о Vq о

Vv-Vv, = -- (а)

Чтобы найти зависимость между х и i, достаточно из уравнений (а) и (б) исключить скорость v. Из уравнения (а) имеем:

Подставляя это значение в уравнение (б), получаем:

Это уравнение, выражающее х как функцию времени t, и есть искомый закон движения точки.

Из уравнений (а) и (б) можно также найти время Т, в течение которого двигалась точка до остановки, и пройденный ею за это время путь с. Полагая в равенствах (а) и (б) v = 0, имеем:





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 [103] 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

0.0036