Главная Промышленная автоматика.

Пример 151. Полый полушар радиусом R = 2 м равномерно вращается вокруг своей вертикально расположенной оси симметрии, делая 30 об1мин. Внутри полушара находится шарик весом Р = 2 н. Найти высоту h, соответствующую положению равновесия шарика относительно полушара и реакцию полушара N в этом положении (рис. 188).

Решение. Три силы - вес шарика Р, нормальная реакция полушара N и сила инерции Я" -уравновешиваются. Располагая координатные оси, как указано на рисунке, и обозначая а угол, образуемый реакцией N с горизонтом, составляем уравнения равновесия:

ХЯ")-iVcosaO; Y = Nsma-P = 0.

Учитывая, что при равномерном вращении полушара jF<" = Fn = т АМа==mR cosаи), эти уравнения можно переписать так:

N cos а = mR cos аиу, Л/sin а = Р. Из первого уравнения ~находим:


N = mR&=-- RfA\

(О = = я 1 /сек.

Следовательно, = y = 9% • 2 • 9,86 а« 4 н. Из второго уравнения находим:

N ~PRn~ Rn 2.9,83 2"

откуда а =30°. Далее из треугольника СМ А имеем:

CA = R sina=l м, . ,

и, следовательно,

/г = ОЛ=ОС-СЛ=2 -1 = 1 л.

Пример 152. Лента ленточного конвейера наклонена к горизонту под углом а. Определить минимальную скорость ленты.



при которой несомая лентой частица руды отделяется от поверхности ленты в месте набегания ленты на барабан, если радиус барабана равен R (рис. 189).

Решение. На частицу, находящуюся в данный момент в точке набегания ленты на барабан, действуют: вес Р, нормальная реакция барабана N и сила трения f,p. Прикладываем к частице нор мальную силу инерции f и составляем уравнение равновесия полученной после этого системы сил, проектируя эти силы на ось у, на-. правленную по нормали к поверхности ленты:

2К=/„"ЧЛ/-Pcosa=0,

но Ргг--, поэтому Л/=

=Pcosa-. Частица от-

деляется от поверхности ленты в месте набегания ленты на барабан, если N = 0. Поэтому минимальная скорость, при которой происходит отделение частицы от ленты, определяется из уравнения:

Pcosa-:=0,


Рис. 189

откуда

V = VgR cos а.

Задачи типа III

Неравномерное криволинейное движение несвободной материальной точки (задачи 802, 803, 816-820, 822)

В этом случае при решении задач по принципу Даламбера к движущейся материальной точке необходимо прикладывать две силы инерции: тангенциальную i" и нормальную Уравнения равновесия лучше составлять так, чтобы в каждое уравнение входила только одна из этих сил инерции, для чего координатные оси следует направлять по касательной и главной нбрмали к траектории движущейся точки.

В выражение нормальной силы инерции входит величина v; если скорость V в данной задаче неизвестна, то в большинстве



случаев для ее нахождения проще всего применить теорему кинетической энергии материальной точки.

Пример 153. Математический маятник длиной / и весом Р отвели на угол ф„ от положения равновесия и сообщили ему начальную скорость направленную перпендикулярно к нити вверх. Найти натяжение нити маятника в зависимости от угла Ф нити с вертикалью (рис. 190).

Решение. Четыре силы - вес маятника Р, реакция нити N, касательная и нормальная силы инерции F" и f", согласно принципу Даламбера, уравновешиваются. Поэтому, проектируя эти силы на нормаль траектории маятника (на направление радиуса МО), получим

Л/-Рсозф-Я = 0.

Так как

то из этого уравнения находим

N=P созф + -р.

Чтобы найти скорость v маятника, применим на учзсгке пути ММ теорему о кинетической энергии:

"2 Лр = -РА.

Отсюда mv= mvl-2Ph = Р (-2hj и, следовательно,

Р /vl \ / vl 2h\

Л = Рсозф-ь-(-»-2/г; = р(созф + 7-Т;.

Но /г = /созф„-/ cos ф = / (cos ф„ - созф), а поэтому

Л = р(зсозф-2созф„Ч-).

Пример 154. Материальная частица находится внутри неподвижного цилиндра радиусом R. В начальный момент частицаjfiaxoflHTCH в положении /И„ и получает вертикальную скорость у„. Коэффициент трения частицы о поверхность цилиндра равен Пренебрегая действием силы тяжести, найти зависимость между скоростью V частицы и углом а, определяющим ее положение внутри цилиндра (рис. 191).






0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 [106] 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

0.0036