Главная Промышленная автоматика.

при поступательном движении твердого тела его кинетический момент относительно любой оси г равен моменту относительно той же оси количества движения центра масс этого тела в предположении, что в этомцентре сосредоточена вся масса М тела, т. е.

L.mMvc). (217)

Если твердое тело вращается вокруг оси z с угловой скоростью 0), то его кинетический момент относительно этой оси равен произведению момента .инерции этого тела относительно оси вращения на угловую скорость, т. е.

L, = y,co. (218)

При этом моментом инерции тела относительно данной оси z называется сумма произведений массы каждой элементарной частицы тела на квадрат ее расстояния до этой оси, т. е.

J,= -Zmr\ (219)

где т-масса элементарной частицы, а г-ее расстояние до сси z.

Если твердое тело движется параллельно данной неподвижной плоскости, то его кинетический момент относительно любой оси г, перпендикулярной к этой плоскости, равен моменту относительно оси г количества движения центра масс С этого тела в предположении, что в этом центре сосредоточена вся масса М тела, плюс кинетический момент тела относительно оси Cz в его вращательном движении, вокруг этой оси, причем ось Cz проходит через центр масс тела и параллельна оси г, т. е.

L, = mMwc) + c,-fi), (220)

Jcs-момент инерции тела относительно оси Cz, со-алгебраическое значение угловой скорости тела (положительное, если тело вращается вокруг оси Cz против часовой стрелки, и отрицательное в противном случае).

Из равенств (214) и (218) получаем дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси z:

jjllm.r), (221)

где == Ё - угловое ускорение тела.

Задачи, относящиеся к этому параграфу, можно разделить на следующие пять основных типов:

I. Задачи на вычисление кинетического момента системы.

П. Задачи, в которых осуществляется сохранение кинетического момента системы относительно неподвижного центра



или неподвижной оси, т. е. используются равенства (215) или (216).

III. Задачи, относящиеся к вращению твердого тела вокруг неподвижной оси.

IV. Задачи, относящиеся к крутильным колебаниям.

V. Задачи на определение гироскопических реакций в случае гироскопа с двумя степенями свободы.

Задачи типа 1

Задачи этого типа можно рещать при помощи общих формул (211) или (212).

Кинетический момент твердого тела следует вычислять в зависимости от вида движения гела по формулам (217), (218) или (220).

Пример 159. Механизм эллипсографа состоит из ползунов А и В весом Р каждый, кривошипа ОС весом Р и линейки АВ весом 2Р. Кривошип ОС вращается вокруг неподвижной оси Ог, перпендикулярной к плоскости чертежа, с угловой скоростью 0).

Найти кинетический момент этой системы относительно оси Oz, рассматривая линейку АВ и кривошип ОС как однородные тонкие стержни, а ползуны А и В - как материальные гочки, если ОС=ЛС = СВ=/(рис. 196).

Решение. П ервый способ. Данный механизм состоит из четырех тел: кривошипа ОС, линейки АВ и ползунов Аи В, а потому искомый

где Lz\ lT, Li*-соответственно кинетические моменты кривошипа, линейки и ползунов А и В относительно оси г. Кинетический момент кривошипа ОС находим по формуле (218):

где У" -момент инерции кривошипа относительно оси г, рав-

следовательно


Рис. 196

кинетический момент равен



Так как скорости ползунов А и Б направлены соответственно вдоль осей Ох и Оу и, следовательно, пересекают ось Oz, то

Чтобы вычислить кинетический момент L? линейки, применим последнюю из формул (212).

Разобьем стержень А В на бесконечно малые элементы (материальные частицы); массу такого элемента обозначим т, а его координаты обозначим х и у. Тогда

х={21-s) cos cp; у = s sin ф,

где s-расстояние рассматриваемого элемента от точки В. Отг сюда

X- -{21-s) з1пф-ф= -{21-S) 51пф-С)Г, ;/= Scosср• со.

Следовательно, момент, количества движения элемента относительно оси Z будет

{mv) = т {ху-ух) = т[{21 - s)s(i)cos Ф + {21-s) sco sin ф] = = т {21 - s) sm;

а поэтому Li = I.m{xy-yx) = I,m{2l - s)sa = (i){2lZms-I,ms), но Sms = MjSc =/, я 2ms-момент инерции стержня АВ отно-сительно гочки В, равный /И-= -Следовательно,

Таким образом, искомый кинетический момент механизма будет

Второй способ. Так как движение стержня АВ является плоскопараллельным, то его кинетический момент относительно оси г можно найти проще, применяя формулу (220),

U=mAM,v,)+Je\,

где Ус* - момент инерции стержня АВ относительно оси, проходящей чергз его центр тяжести С и перпендикулярной к плоскости хОу (относительно точки, С),

со,-угловая скорость вращения стержня вокруг эгой оси (вокруг точки С).

Следовательно.

Jc =M,-f2-= -

Так как стержень АВ вращается вокруг точки С по часовой стрелке, то сй,= -=-со. Так как точка С принадлежит и





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 [111] 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

0.0037