Главная Промышленная автоматика.

Решение. Внешними силами, приложенными к- вращающемуся щлиндру, являются его вес Р нормальные реакции и роликов и силы трения и между цилиндром и

роликами, причем F,=fN, иF = f/V. Так как моменты сил Р, Л, и относительно оси вращения О цилиндра равны нулю, то главный момент внешних сил относительно этой оси = - F/-F/ = = - fr {N, + NJ, поэтому дисх{)ерен-циальное уравнение вращательного движения цилиндра имеет вид

Найдем теперь силы Л, и N; для этого, применяя теорему о движении центра масс системы, составим дифференциальные уравнения движения центра тяжести О цилиндра:

= -Р + {Л, cosa -sina + f, sin а.


Рис. 198

= 2sina-sina-cosa -cosa.

Так как точка О неподвижна, то Хс = У(; = 0, а потому {yV.-AJsma-/(, + AJcosa = 0, ) (N, + N,)cosa+f(N,-N,)siT]a = P. j Исключая из этих уравнений разность А/,-Л, получим

» (l + P)cosa

и, следовательно,

Но для цилиндра J„ = da

8 2

(14-7=) cos а-

a потому

= const.

dt (1 + ПС08а

Интегрируя это уравнение, находим

2g/

а . ®о (I 4-р") л cos а

Так как в момент остановки цилиндра и = 0, то искомое время равно

, (1+/Vcosawo - 2 •



= -dt.

Отсюда, интегрируя, находим

/ = -1п

kr /и.

Третья группа

В этих задачах главный момент внешних сил, приложенных к вращающемуся твердому телу, является функцией угла поворота ф этого тела, т. е. /И = /((р) Если в уравнении (221) угло-

вую скорость ш заменить производной ==ф. тс это уравнение

При интегрировании дифференциального уравнения вращательного движения твердого тела в этих задачах нужно применить способ разделения переменных.

Пример 162. ХХля быстрого торможения больших маховиков применяется электрический тормоз, состоящий из двух полюсов, расположенных диаметрально противоположно и несущих на себе обмотку, питаемую постоянным током. Токи Фуко, индуцируемые в массе маховика, при его движении около полюсов создают тормозящий момент /И,, пропорциональный скорости v иа ободе маховика: /И, = /гб, где k - коэффициент, зависящий от магнитного потока и размеров маховика. Момент /И от трения в подшипниках можно считать постоянным: радиус ма-xoBinca г, момент инерции его относительно оси вращения J. Найти, через какой промежуток времени остановится маховик, вращающийся с угловой скоростью со.

Решение. Главный момент внешних сил, приложенных к маховику относительно его оси вращения, равен

/И ~ {Л1, + М) = - {kv -V /И,),

поэтому, составляя для маховика уравнение (221), имеем

= -(feu + M,).

или, заменяя v на г&,

= -(fe/-c)-f/n,). Разделяя здесь переменные, получим




Рис 199

принимает вид:

При решении задач третьей группы нужно проинтегрировать это уравнение.

Пример 163. Однородный круглый диск радиуса г совершает колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через точку О, причем расстояние от точки О до центра тяжести С диска

равно .

Найти закон движения диска при малых колебаниях, а также период этих колебаний. В начальный момент угол ф отклонения диска от равновесного положения равен ф(,, а его начальная угловая скорость равна нулю фис. 199).

Решение. В данной задаче диск является физическим маятником. Если вес маятника обозначим Р, а расстояние ОС обозначим а, то (Р)= -аР sin ф; а поэтому дифференциальное уравнение вращательного движения маятника имеет вид

УоФ = - аР 51Пф.

При малых колебаниях можно положить з1пфяйф. Тогда получим дифференциальное уравнение малых колебаний маятника

У„ср + аРф = 0

Ф + А> = 0.

Мы получили дифференциальное уравнение гармонических колебаний; его общее решение имеет вид: (р = С, sm (kt) + + Ccos{kt). Отсюда ф = kC cos {kt) - kC sm kt.

Так как в начальный момент по условию задачи ф = Фо, Ф = 0, то из этих уравнений, полагая в них /==0, находим 2 = Фо» С, = 0. Следовательно,

ф = фо coskt.

Это уравнение выражает искомый закон движения маятника при малых колебаниях. Период этих колебаний равен





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 [113] 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

0.0041