Главная Промышленная автоматика.

Ф = а sin ]/ у / + гх j + 6 sin {pi).

Амплитуда вынужденных крутильных колебаний будет определяться по формуле Ь=

- - - c-Jp-

При р= у -J- > "Г. е. е случае резонанса при отсутствии

сопротивлений общее решение предыдущего дифференциального уравнения (закон вращательного движения тела) имеет вид

Ф = а sin (АМ-а) -/ cos (й/),

(p = asln{yJt + a)-~/Ztcos(jt).

Постоянные а и а определяются, как и в предыдущем случае (при наличии сопротивления), по начальным условиям движения тела.

Пример 164. Для определения коэффициента вязкости жидкости наблюдают колебания диска, подвешенного на упругой вертикальной проволоке в жидкости. К диску приложен перемен» ный момент, равный /Иsin (р/) (= const), при котором наблюдается явление резонанса. Момент сопротивления движению диска в жидкости равен nSco, где р - коэффициент вязкости жидкости, S-сумма площадей верхнего и нижнего оснований диска, со - его угловая скорость.

Определить коэффициент вязкости жидкости р, если амплитуда вынужденных колебаний диска при резонансе равна ф.

Решение. К диску, вращающемуся вокруг вертикальной оси, приложен момент М упругих сил, возникающий при закручивании проволоки на угол ф и пропорциональный этому углу, момент сопротивления жидкости М = pSco и переменный момент М, = М sin(p/).

Поэтому в данном случае имеем:

n = ns, .Н = М. Так как по условию задачи при данной частоте р наблюдается резонанс, причем амплитуда вынужденных крутильных колебаний диска равна ф, то по вышеуказанной формуле

Vsil находим ср = , откуда

Задачи типа V

Представим себе движущееся твердое тело, одна точка О которого закреплена неподвижно, например при помощи сферического шарнира (рис. 200). Как известно из кинематики, в кал-



дый данный момент такое тело вращается вокруг некоторой определенной мгновенной оси, проходящей через неподвижную точку О. Вектор мгновенной угловой скорости тела, направленный по мгновенной оси вращения, обозначим о, а его проекции на координатные оси, начало которых находится в точке О, обозначим (0, 63, ш- Зайдем кинетический момент этого тела относительно оси X. Разбивая тело на



Рис. 200

Рис. 201

элементарные частицы и применяя формулы (212), имеем

л: = S ""л: (") = S (i)V-ZV,

где т-масса элементарной частицы, у и z-ее координаты, а Vy, -проекции скорости частицы на оси у и 2.

Проекции на координатные оси скорости v точки вращающегося твердого тела определяются по кинематическим формулам Эйлера *:

Следовательно,

= (iixm {у + z) - (йутху-а) mxz,

где Jjj= КУ+ 2) -момент инерции т( =Ymx«/ и /jj2 = >] mx2-центробеж

тела.

тела относительно оси х, ные моменты инерции

* Вывод этих формул можно найти, например, в курсе теоретической механики проф. И М. Воронкова.



Если координатные оси х, у, г направим по главным осям инерции данного тела в точке О, то Jy = J = 0, а потому в этом случае L = J(i>.

Аналогично найдем, что при этом условии кинетические моменты тела относительно осей у vi. z будут равны

Предположим теперь, что твердое тело, имеющее форму тела вращения вокруг оси АВ, например колесо или тор, равномерно вращается вокруг этой оси АВ с угловой скоростью а,; в то же время эта горизонтальная ось АВ вращается равномерно вокруг неподвижной вертикальной оси с угловой скоростью cOg. Требуется определить реакции в подшипниках Л и В, перпендикулярные к оси АВ, если вес тела равен Р и АС = 1,, СВ = 1, АВ=--1, +1 = 1, причем С - центр тяжести данного тела (рис. 201, а и б). Такое тело представляет собой гироскоп с двумя степенями свободы.

Вращение вокруг оси АВ с угловой скоростью со, называется собственным вращением гироскопа, а вращение с угловой скоростью вокруг оси z называется прецессионным вращением, или прецессией гироскопа. Неподвижную точку пересечения осей вращения примем за начало координат О и направим координатные оси, как указано на рис. 201, а. Горизонтальные реакции подшипников Л и S. параллельные оси х, обозначим Ха и ХдГ вертикальные статические реакции подшипников,

обусловленные только весом Р гироскопа, обозначим Za и Zb, PI Р

причем очевидно ZA = -f и Zb-jI,, а динамические вертикальные реакции обозначим Za и Zb-

Найдем кинетический момент L„ гироскопа относительно неподвижной точки О. Сложив векторы со, и со получим абсолютную мгновенную угловую скорость гироскопа Q [см. равенство (107)]. Так как гироскоп есть тело вращения вокруг оси у, то эта ось и две перпендикулярные к ней оси л; и 2 являются главными осями инерции гироскопа в точке О, а потому, как было указано выше, кинетические моменты rnpocKCjna относительно этих осей равны

или, так как Q = Q, Qy = &,, Q = (i>, то L = 0,

Учитывая, что L, Ly, являются проекциями вектора на координатные оси, по найденным проекциям строим вектор ОД = Г, (рис. 201,6).





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 [115] 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

0.0047