Главная Промышленная автоматика.

функция, а в числе известных и искомых в задаче механических величин имеются, кроме этих сил, только скорости (линейные или угловые) и перемещения (поступательные или угловые) тел, входящих в данную систему.

2. Задачи, решаемые при помощи уравнения (226), т. е. на основании теоремы об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме.

Уравнение (226) следует применять в тех случаях, когда заданные переменные силы (или сила), действующие на систему, зависят от скорости, а известные и искомые в задаче механические величины те же, что и в предыдущем случае.

В этом случае при интегрировании уравнения (226) сначала нужно разделить переменные.

3. Задачи, решаемые при помощи уравнения (227), т. е. на основании теоремы о зависимости между кинетической энергией системы и мощностью действующих на систему сил. Уравнение (227) следует применять в тех случаях, когда требуется найти (либо, наоборот, задано) ускорение тела-линейное (при поступательном движении тела) или угловое (при вращательном движении).

Первая группа

Пример 169. Груз А весом Р, подвешен к однородному нерастяжимому канату длиной L и весом Q.

Канат переброшен через блок В, вращающийся вокруг оси О, перпендикулярной к плоскости рисунка. Второй конец каната

прикреплен к оси катка С, катящегося без скольжения по неподвижной горизонтальной плоскости. Блок В и каток С- однородные круглые цилиндры радиусом г и весом каждый. Коэффициент трения качения катка С о горизонтальную плоскость равен f. В начальный момент, когда система находилась в покое, с блока В свешивалась часть каната длиной /. Определить скорость груза А в зависимости от его вертикального перемещения h (рис. 205).

Решение. Так как в данной задаче известными величинами являются перемещение h груза и постоянные силы Р„ Q, а требуется найти скорость v груза, то следует воспользоваться уравнением (228), выражающим теорему об изменении кинети-


Рис. 205



ческой энергии в конечной форме:

Кинетическая энергия данной системы равна Т = Т, + Т, + Гз + Т„

где Г,, Т, Tj, -соответственно кинетическая энергия груза А, блока В, катка С и каната. Так как скорость любой точки каната равна скорости v груза, движущегося поступательно, то по формуле (229) находим:

• g 2 g 2

Кинетическую энергию вращающегося блока находим по формуле (230):

(угловая скорость блока); следовательно,

Так как движение катка С является плоскопараллельным, то по формуле (231) имеем:

где Jc - ~ • i-угловая скорость катка.

Так как каток катится без скольжения, то скорость точки касания его с неподвижной плоскостью равна нулю, т. е. эта точка является мгновенным центром вращения катка.

Отсюда следует, что Юс = Г(а, поэтому

Таким образом,

в начальный момент система находилась в покое, поэтому Г„ = 0.

Перейдем теперь к вычислению суммы работ всех сил, приложенных к данной системе при перемещении груза А на расстояние h.

Работа силы Р„ очевидно, будет Л, = Р,/г. Работа каждой из сил Pj равна нулю, так как точка О неподвижна, а точка

Vq со.



с перемещается по горизонтали. Момент пары трения качения равен /.Pj, а работа сил этой пары, согласно § 3 гл. III, будет равна произведению момента пары на угол ф поворота катка, взятому со знаком минус, так как направление момента пары трения качения противоположно направлению угловой скорости катка; следовательно,

4,= -/,Р,ф.

Так как угловая скорость катка равна угловой скорости О) блока В, то угол поворота ф катка равен углу поворота

блока, т. е. ф = А, поэтому

При качении катка без скольжения, работа силы трения скольжения Ftp будет равна нулю, поскольку равна нулю скорость точки приложения этой силы.

Так как, согласно § 3 гл. III, работа силы тяжести равна произведению веса тела на вертикальное перемещение его центра тяжести, то, сравнивая начальное положение CfiDA каната с его конечным положением СЕВА, нетрудно видеть, что работа веса каната равна произведению веса его части CJZ = h,

равного h, на разность высот центров тяжести этой части Cfi и части каната Л„Л, т. е. на г+1-\--~. Поэтому

Таким образом,

XA = A, + A, + A,P,h-f,P, + \{r + l + )Q.

Подставляя найденные значения суммы работ и кинетической энергии Т в уравнение (228), находим:

(P. + Q + 2P.) = /z[P.+ -(r + Z+4)-/fP.; . Отсюда находим искомую скорость груза:





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 [119] 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

0.0037