Главная Промышленная автоматика.


m.ldF), т.е. М==-цЬа xdx -j\xbaW и "dA

= - p, Ьа*(аЧ(р.

Пример 170 Прямоугольная пластинка А BCD со сторонами а и b и весом Р вращается вокруг вертикальной оси г с начальной угловой скоростью ю„. Каждый элемент пласгинки испытывает при этом сопротивление воздуха, направление которого перпендикулярно к плоскости пластинки, а величина прямо пропорциональна площади элемента и квадрату его скорости v; коэффициент пропорциональносги равен ц. Сколько оборотов сделает пластинка до того момента, когда ее угловая скорость станет вдвое меньше начальной (рис. 206)?

Решение. Так как силы сопротивления, приложештые к пластинке, зависят от скорости, то для решения задачи следует воспользоваться уравненигм (226)

dT =2-

Так как пластинка вращается вокруг неподвижной оси, го ее кинетическую энергию находим по формуле (230):

Т = 1, откуда dTJada. .

Рис 206

Работа силы тяжести Р, очевидно, равна нулю, так как высота центра тяжести пластинки не изменяется.

Чтобы вычислить работу сил сопротивления, воспользуемся формулой для определения работы сил, приложенных к вращающемуся твердому телу (см. главу III, § 3):

где -сумма моментов всех приложенных к телу сил относительно оси вращения, -элементарный угол поворота тела.

Чтобы вычислить М, разобьем пластинку на элементарные прямоугольники со сторонами b и dx.

Тогда сила сопротивления, приложенная к такому прямоугольнику, равна

dP = ixvbdx = ixb(mx)dx

(dP) =-xdF= -nbofx dx;

следовательно,



Таким образом, уравнение (226) принимает вид

Jda=--pba*ffld(p. Разделяя здесь переменные, получим:

отсюда, интегрируя, имеем:

ffl„ 2

откуда находим угол поворота пластинки:

44 In2

Применяя вышеуказанную разбивку пластинки ABCD на элементарные прямоугольники, момент инерции пластинки представим в виде:

где т-масса элементарного (заштрихованного) прямоугольника. Если массу пластинки обозначим/И, то масса, приходящаяся

на единицу площади, будет -, а потому

т = -тЬ ах=-ах аЬ а

1 Г Л 2 J м

2 J а а

Ма Р

3 3g

Следовательно, Ф = .

Разделив этот угол ср на 2зх, получим искомое число оборо-2 Р In 2

тов пластинки, равное -щ-

Третья группа

Пример 171. Прямоугольная пластинка со сторонами а и 6 может враш.аться без трения вокруг вертикальной оси АВ, проходящей через ее середину и параллельной стороне Ь. На



конце оси надет шкив С радиусом г, на который намотана гибкая нерастяжимая нить; другой конец нити перекинут через блок D, и к нему привязан груз весом Р, приводящий во вращение пластинку.

Пренебрегая массами шкива и блока, найти ускорение груза, если вес пластинки равен Q и никаких сопротивлений движению нет (рис. 207).

Решение. Так как требуется определить ускорение груза, то для решения этой задачи воспользуемся уравнением (227)

Кинетическая энергия данной системы, состоящей из пластинки, вращающейся вокруг неподвижной оси z, и гру-за, движущегося поступательно, равна

T~J --\- - v" 2 +2g

-С -

Рис. 207

где -момент инерции пластинки относительно оси вращения, ю-ее угловая скорость, V - скорость груза.

Так как нить нерастяжима, то скорость груза.равна окружной скорости шкива, т. е. v = m, и, следовательно,

T=J.

7 + 2-i

Зная момент инерции прямоугольной пластинки относительно ее стороны, равной Ь, найденный в предыдущем примере, и применяя теорему о моментах инерции относительно двух параллельных осей, имеем:

откуда

поэтому

g 3 -- g 4

~7Т2

т-Ял.1-.(л.р\

- g 2r 12"f" 2g ~2gU2r" /

dT dt

V IQa" , d dv

g Vl2/-=

При перемещении груза работу будет производить только сила Р (вес груза), поскольку сопротивлениями пренебрегаем.





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 [120] 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

0.0036