Главная Промышленная автоматика.

Рассматривая затем равновесие левого груза в отдельности, найдем натяжение каната АС

Т - Pi[ff(2p2 + 0,5p,)-М] R(Pi + P2 + 0.5P,) •

Задачи типа II

К этому типу относятся задачи, в которых заданные силы, реакции связей и силы инерции образуют пространственную систему сил. Эти задачи можно разделить на две группы.

Первая группа

К этой группе относятся задачи, в которых требуется определить реакции двух закрепленных точек оси при вращении точечных масс вокруг этой оси.

Решение задач этой группы аналогично решению задач второй группы типа I, только здесь приходится составлять в общем случае шесть уравнений равновесия пространственной статики.

Вторая группа

К этой группе относятся задачи, в которых требуется определить реакции двух закрепленных точек твердого тела (двух подшипников или подшипника и подпятника), возникающие при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси, проходящей через эти закрепленные точки.

При решении этих задач по принципу Даламбера нужно разбить вращающееся твердое тело на элементарные материальные частицы и к каждой такой частице приложить касательную и нормальную силы инерции этой частицы. Так как, согласно принципу Даламбера, все эти силы инерции уравновешиваются заданными силами, приложенными к телу, и реакциями закрепленных точек, то в общем случае имеем шесть известных из статики уравнений равновесия (три уравнения проекций и три уравнения моментов). В эти уравнения войдут, во-первых, сумма проекций всех сил инерции на каждую из трех выбранных координатных осей, или, что то же, проекции главного вектора сил инерции на каждую из этих осей, и, во-вторых, суммы моментов всех сил инерции относительно каждой координатной оси, или, что то же, главные моменты сил инерции относительно каждой из этих осей. Если ось вращения тела примем за координатную ось Z, то проекции главного вектора сил инерции на координатные оси будут равны (см., например, «Курс теоретической механики» И. М. Воронкова, § 139)

RT = M(Xc(D+yc), Rf = M{yiD-Xce), /?Г = 0. (234)



а главные моменты сил инерции относительно координатных осей выразятся так:

/И<" = 4,е-УХ. М<« = У,е+У,,ш, МГ=-У,е. (235),

В этих формулах М-масса тела, со и е-соответственно угловая скорость и угловое ускорение тела, х. и У(~-координаты центра тяжести С тела, Ул: -yz-центробежные моменты инерции тела и -момент инерции тела относительно оси вращения.

Отметим некоторые частные случаи:

1. Тело вращается равномерно. Тогда со = const и е = 0.

2. Центр тяжести тела лежит на оси вращения. Тогда *с = /с = 0 и, следовательно,

/?(r>=/<"> = i?f>0. (236)

В этом случае все силы инерции приводятся к одной паре, проекции вектора-момента которой на координатные оси определяются по формулам (235).

3. Координатная плоскость хОу является плоскостью-симметрии тела. Тогда центр тяжести тела лежит в этой плоскости, и ось вращения z как ось, перпендикулярная к плоскости симметрии, является главной осью инерции тела в точке О,, поэтому Jy = J„ = 0. Если при этом е = 0, то

P<f) = Mл:cCo Rf==Myc(i>\ i?i" = 0. (237>

В этом случае все силы инерции приводятся к одной равнодействующей, равной = Мсоа, где-радиус-вектор точки С, т. е. приводятся к одной силе, равной центробеж-ной силе центра тяжести, если предположить, что в этом центре сосредоточена вся масса тела; при этом линия действия этой равнодействующей проходит через центр тяжести тела..

4. Если ось вращения z является главной центральной осью инерции тела и если при этом тело вращается равномерно, то 8=»0, Хс - у(.=0 и =».У. = О, а потому /iif = iw = 0 и M*"-Ml," = Mi" = 0. т. е. система сил инерции является в этом случае уравновешенной системой. Следовательно, в уравнения равновесия, составленные на основании принципа Даламбера, силы инерции не войдут; эти уравнения будут совпадать с уравнениями статйки, которые используются при равновесии тела под действием приложенных к нему заданных сил. Поэтому искомые реакции закрепленных точек будут в этом случае равны статическим реакциям.




При решении задач этой группы по принципу Даламбера следует иметь в виду, что в уравнение моментов относительно оси вращения z искомые реакции закрепленных точек не входят, так как их моменты относительно этой оси равны нулю. Поэтому эти реакции определяются из остальных пяти уравнений равновесия. Если в данной задаче, как это нередко бывает, требуется "найти только реакции, перпендикулярные к оси вращения z, то достаточно составить четыре уравнения равновесия (два уравнения проекций на оси х и у и два уравнения моментов относительно этих осей). Пример 177. Однородный тонкий диск радиусом R и весом Р насажен на горизонтальный вал под углом а к оси вала и жестко скреплен с валом, причем центр тяжести О диска лежит на оси вала.

Определить реакции подшипников Л и В, если вал вращается с постоянной угловой скоростью м и АО = ОВ = а. Весом вала и трением в подшипниках можно пренебречь (рис. 214).

Решение. Реакция каждого из подшипников перпендикулярна к оси вращения вала и равна геометрической сумме двух сил: статической реакции, вызываемой весом Р диска, и инерционной реакции, возникающей при вращении диска и обусловленной проявлением инерции материальных частиц вращающегося диска.

Каждая из статических реакций равна, очевидно, -g- и направлена по вертикали вверх. Для определения инерционных реакций применим принцип Даламбера. Составляющие инерционной реакции по координатным осям х к у, приложенные в точке Л, обозначим и Y, а инерционные реакции, приложенные в точке В, обозначим Х и Y- При этом ось х лежит в одной плоскости с осью вращения вала и с нормалью On к плоскости диска, ось у-в плоскости диска; ось z направим по оси вращения вала. Оси х и у связаны с диском и вращаются вместе с ним. Диаметр Ог, диска лежит в плоскости xOz и, следовательно, перпендийлярен к оси у.

Так как сила Р уравновешивается статическими реакциями подшипдиков, то, согласно принципу Даламбера, силы инерции материальных частиц диска будут уравновешиваться инерционными реакциями 1д, У, Х, У.





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 [125] 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

0.0036