Главная Промышленная автоматика.

в этих уравнениях /15", , а, и а, являются произвольными постоянными, которые определяются по начальным условиям движения системы.

Дифференцируя уравнения (б) по времени t, имеем

S = cos (kt + а,) + Ak cos {kt + a,);

Ф = Я, cos (fe,/ + a,) -j- Л/fe, cos (fe

В рассматриваемом примере s„ = 0, = О, s„ = ф„ = О при / = 0.

Подставляя эти значения в уравнения (б) и (в), имеем О = Л*." sin а. + Л1"* sin а,; О = ?ь,л5» sin а, 4->., Л*» sin а,; t)„ = Л/fe, cosa, + Afk, cosa,; О = Л,"A,fe, cosa, + Л1" cos a,.

Из этих уравнений находим

а. = а, = 0, Л;" =

1 (2 \)

= 0.11:

л$ =

0.14.

Таким образом,

5 = 0,11 sin 0,8/+ 0,14 sin 6,3/; Ф = 0,08 sin 0,8/-0,01 sin 6,3/.

Рассмотрим еще второй способ решения полученной системы (а) двух линейных дифференциальных уравнений второго порядка:

ms--т,/ф -Ьс5 = 0, S+ /ф + ёФ =

hcs = 0, \ , = 0. f

Путем последовательного дифференцирования каждого из уравнений этой системы находим

dt di + ~-

ds , .rfcp , d»s „ "dP+"=dF+dF= =

Исключая сначала из этих шести уравнений обобщенную координату ф и ее производные, а затем координату s и ее производные, получаем два независимых друг от друга линейных диф-



ференциальных уравнения четвертого порядка:

Л mg + d ds eg „ -

или, введя опять обозначения j = p, -, = q,

irijl trill dr4-p, + <7S = 0,

Составим характеристическое уравнение, соответствующее каждому нз уравнений этой системы. Корни этого уравнения равны:

«... = ±-(/-1-+ / (f)-<7 = ±tA;

Следовательно, решение уравнений (е) имеет вид

s = C, cos +С, sinfe,-f CcosAi.f + Csinfe,, } Ф = С, cos kj + Cj sin й,/ -j- Cs cos -I- C4 sin kJ, j

где C„ Cj, Cj, C4, C,, Cj, Cs, Cl-произвольные посгоянные. Перейдем к определению этих постоянных, для чего воспользуемся начальными условиями движения. Полагая в уравнениях (а) и (г) / = 0 и учитывая, что по условиям задачи 8, = ф, = 0,

Фв = 0. «0 = 0. имеем

т8„ + т,/ф„ = 0, \ «„ + /ф„=0, Г

1-т,/ф„ + си„=0, \

S„ + Фо

Решая каждую из этих систем в отдельности, получим

„ - CVn - CV„

Теперь определяем постоянные С,, С, С,, С. Для этого



вычислим из первого из уравнений (ж) производные s, s, s: s = - C,fe, sin kJ+Cji, coskt-CJi sin kt -\-CJicoskJ, s = -C,k\ cos k,t-Ck\ sin kJ - Ckl cos kJ-Ckl sin fe,/, (з) s = C,fe? sin fe,/-C,feJ cos k,t + Ckl sin kJ-CJzl cos fej.

Полагая в этих равенствах и в первом из уравнений (ж) / = 0, получим следующую систему четырех уравнений относительно неизвестных С,, С:

s„ = c.+c, = o,

s„ = C,fe,+C,fe, = t;„,

s =-C,fe-CЖ = -

cг)„

Решая совместно первое и третье уравнения, С,=С = 0. Из второго и четвертого уравнений имеем

находим

откуда

и С, (fe-fe,feO = t;„ {-kl).

--fe;

Таким образом,

s = - i i f;- fe? ) Sin fe/-l (fe Sin fe,/ .

Аналогично, для определения постоянных С,, Cj, Cj, С4 получим следующую систему четырех уравнений:

с:+с;=о, c;fe,+c;fe,=o, -c;fe:-cifei=o,

-Cikl - Cikl =

Отсюда находим I

c;=c;=o,

Ct)„

с: =

Подставляя в полученные уравнения числовые данные, приходим к прежним результатам.





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 [137] 138 139

0.0035