Главная Промышленная автоматика.

При решении задач, относящихся ко второй, третьей и четвертой группам, рассмотрим только те случаи, когда применим метод разбиения данной линии, плоской фигуры или данного тела на конечное число простейших по форме частей, центрь тяжести которых легко определяются.

Если данное тело имеет плоскость или ось, или центр симметрии, то центр тяжести такого тела лежит соответственнс в этой плоскости, на этой оси или в этом центре симметрии. Поэтому для упрощения вычислений при решении задач плоскость симметрии всегда нужно выбирать за одну из координатных плоскостей, а ось симметрии-за одну из координатных осей.

Пер ваягруппа (задача 298)

Если веса данных тел обозначим Р,., а координаты ров тяжести л;,-, г/,-, г,-, то координаты общего центра этих тел определятся по формулам:

их цент-тяжести


(t = l, 2,

п). (40)

Центры тяжести грузов которых

веса

Рис 79

Л,. А„ Л„ соответственно равны Р,="Рз = 10, Р, = 5. Р,= 15 н, находятся в вершинах тетраэдра; высота этого тетраэдра АМ проходит через точку М пересечения медиан основания ААА тетраэдра. Дано: АА = 4 см, Л,Лз = 8 еж, АМ=40см. Угол а = 30°. Найти положение центра тяжести этих грузов (рис. 79).

Решение. Координатные оси с началом в точке Л, направим, как указано на рис. 79. Тог да координаты центров тяжести данных грузов Л,, Л, Л,, Л будут соответственно равны:

х, = 0,

. = 0, г.=0.

Так как точка М есть пика А,АА

2 = 2 см, у = 2 см, 2, = О,

А,

- о, Хд - ХД[,

у = 8 см, у = у, 2 = 0, 2 = 40сж.

точка пересечения медиан треуголь-то, как известно из аналитической геометрии,

x, + xj-bxs 2. + 2V3-h8

~"3 ~ 3 •



Теперь, применяя формулы (40), находим координаты искомого центра тяжести:

л;„=.

5-2+15.

= 0,5;

Р, + Р, + Рз + Р,

- 40 5-2 +10.8+15-?i4

(41)

Р,г. + Р,г, + Рзгз + Р,г, ; 15-40 ,у " Рг + Р.+ Р. + Р. "™

х = 0,5 сл; у = 3,86 см; 2=15 см.

Втораягруппа (задачи 286, 299-301)

Разбив данный однородный контур на п простейших по форме линий, обозначим длины этих линий а координаты их центров тяжести X,., Zi- Тогда координаты центра тяжести данного контура определяются по формулам:

В случае плоского контура, плоскость которого принимаем за координатную плоскость кОу, будем иметь: 2; = 0 (г = 1, 2, 3, 4, ..., п) и, следовательно, z = 0.

Пример 46. Определить координаты центра тяжести С однородного контура AEBDKA, состоящего из дуги полуокружности АЕВ, прямолинейного отрезка BD и дуги окружности DKA с центром в точке В,еслиАО = ОВ = г; BD = 2r; / ABD = 90°. Оси координат указаны на рис. 80.

Решение. Заданный контур разобьем на три части: полуокружность АЕВ, отрезок BD и четверть окружности DKA. Обозначим центры тяжести этих частей соответственно С,, С„ Cj, а их длины /„ Тогда /, = яг; 1 = 2г; 1 = ш.

Центр тяжести С, дуги АЕВ лежит на оси у, причем 0С,=

= - = -, поэтому х.=0; f/, = --. Т


* Расстояние от центра тяжести С дуги окружности радиусом R до

г, R sin а

центра О этой окружности определяется по формуле UL = -- , где а- половина центрального угла этой дуги.



Центр тяжести отрезка BD- лежит в середине этого отрезка, а потому

Центр тяжести дуги AKD лежит на отрезке КВ, причем

Следовательно,

к,=-{ВС,cos45°-,-) = - (-г) ; = ВС,cos45° =..

Полученные расчетные данные расположим в табл. 10.

Таблица 10

№ частей

tail

/ 4/- \

Теперь координаты искомого центра тяжести находим по формулам (40):

h + k + k 2(n + l) У" + h + k

Третья группа

(Задачи 287-298)

Разбив данную плоскую фигуру на п простейших по форме частей, обозначим площади этих частей S,-, а координаты их центров тяжести х,-, у;. Тогда координаты центра тяжести данной фигуры определяются по формулам:

(i= 1, 2, 3, ... , fi).





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 [41] 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

0.0038