Главная Промышленная автоматика.

х, = 0;

y. = /.cos30

„ I

COS 30

У. = У. = 0-

Кроме того, S = ni?. Так как площади вырезанных кругов отнимаются, то, как было указано выше, их надо считать отрицательными, т. е.

5. = -..--"

36 •

Таким образом, получим табл. 12.

Таблица 12

№ частей

Si!/,

-nR О 192

- R 4

-nR" 36

-3i? 4

nR" 48

nR"

Координаты искомого центра тяжести будут:

V 64 16 36 V

..... "~<-i4+64) бгз „

Итак, x = 0, y=s=0,02i?.

64 16 36

Четвертая группа

Разбив данное телона п простейших по форме частей, обозначим объемы этих частей V,., а координаты их центров тяжести щ, Z,.. Тогда координаты центра тяжести данного тела



определяют по формулам:

(t=l,2.....л) (43)

Пример 50. На рис. 84 показан разрез тела, состоящего из цилиндра радиусом т и высоты h и двух полу шаров радиусами i?, i?,, центры которых совпадают с центрами нижнего и верхнего оснований цилиндра. Определить центр тяжести этого тела, если R = 2R,

h==4R„ r = 2.

Решение. Так как ось г является для данного тела осью симметрии, то искомый центр тяжести С этого тела лежит на оси 2, поэтому достаточно вычислить только одну координату 2.

Обозначим объемы полушаров и цилинд- чччччччччччччч4 ра соответственно V,, F„ V,, а их центры Рис. 84

тяжести C, Сд, Cj. За начало координат


выберем точку С,. Тогда эти объемы и координаты центров жести С,, Cj, С, будут соответственно равны:

V, =-яР = 144яЛ

.=-(1+1«.)=- •

V==nRl = 18лЛ

, Л , 3 р. 57 г - 2 "г 8 » "~ "е"

2. = 0.

Искомую координату центра тяжести данного тела находим по третьей формуле из (42):

§3,44 .57 . У.г. + У2г2+У.г. 4*+8" V. + V,+V. - . 174

1413

или Итак,

2„ = -6,09 г.

2, =г -6г.

в некоторых случаях применение метода разбиения тела (или данной плоской фигуры) на простейшие части связано с особым приемом, который можно назвать методом дополнения.

* Расстояние от центра тяжести полушара радиусом R до его основа-

НИЯ равно -g- R (см. учебник проф. И. М. Воронкова, § 56).



Сущность этого метода состоит в следующем: к Данному телу / присоединяют второе тело так, чтобы получилось новое тело / простой геометрической формы, центр тяжести которого легко можно определить. Например, продолжив две противоположные стороны данного четырехугольника до их пересечения, можно дополнить его до треугольника; усеченный тетраэдр можно дополнить до четырехгранной пирамиды. Если при этом положение центра тяжести присоединенного тела также легко можно определить, то к телу / применяем метод разбиения на простейшие части; это тело можно рассматривать состоящим из двух частей: данного тела / и добавленного тела , и, следовательно, можно воспользоваться формулами (43).

Пример 51. Определить расстояние центра тяжести усеченного круглого конуса ADEB от его нижнего основания, если известны радиусы R и г верхнего и нижнего оснований конуса и его высота h (рис. 85).

Решение. Начало координат выберем в центре О нижнего основания усеченного конуса, а ось г направим по его высоте. Так как ось z является осью симметрии усеченного конуса, то искомый центр тяжести лежит на этой оси в некоторой точке С с координатой г, которую и требуется определить. Применяя метод дополнения, дополним данный усеченный конус до конуса АВК.

Пусть С, и Cj-центры тяжести конусов ARB и DKE, V„Vj -их объемы. Тогда ОС, = г, ОС = г и V=V + V. где V-объем данного усеченного конуса. Рассматривая конус ARB, как бы состоящий из двух частей ADEB и DKB и применяя формулу (43), имеем:


Рис. 85

откуда

2,- =

(44)

Так как объемы двух подобных конусов АКВ и DRE про-

порциональны кубам радиусов их оснований, то ; = и, следовательно.





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 [43] 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

0.0036