Главная Промышленная автоматика.

Таким образом,

о = 16 р (1 - 0.8 cos 16 О - / 0.8 sin 161],

w = 204,8 (Т sin 16 < + / cos 161).

Далее вычислим модули векторов скорости v и ускорения w по формулам (54), (56):

р1 = /(16- 12,8cos 16 0 +(12,8)2 sin46 =

= 16 /1,64-J- 0,1 cos 16/;

= Vicos I6/-bsin216 0(204,8) = 204,8 м/секК

Пример 57. Линейка эллипсографа АВ = 1012~ см концами А я В скользит по двум прямолиыейным направляющим, образующим между собой угол а= 135». Найти траекторию, скорость и


Рис. 92

ускорение точки М линейки, если = 3 и закон движения пол-

зуна А выражается уравнением ОЛ =s = 20 sin- / (рис. 92).

Решение. Ось Ох направим по прямой ОВ, а ось Оу - перпендикулярно к ОБ и построим координаты точки М:

х=-ОЕ = ВС-ОС-ВЕ\ у=МЕ.

Далее выразим координаты точки М через заданный отрезок OA; для этого опустим перпендикуляр из точки А на ось Ох. Из подобных треугольников АСВ я МЕВ находим:

,§ = = 4, откуда Л1Я = ЛС и В£ = ВС.

Следовательно,

Х=:ВС-ОС.

у={АС.



Так как из прямоугольных треугольников А ОС и ABC имеем:

ОС = АС = АО sin а, АС = АВ sin ф, ВС = АВ созф,

а; = -ЛВсо8ф -Osina = --10/гсоз ф - 20 sin ;J-/• sin 45°,. y=\01- sin-g-/,

X= 10]/2(-СО5ф-81п-/), ysint.

Остается выразить зависимость между ф и /. Из треугольника ОАВ по теореме синусов имеем:

АВ АО sin а sin ф

откуда

АО . . п , п ,

sin ф =sin а = sin-g-/ и ф = -2-г.

Таким образом, уравнения движения точки М имеют вид: х= 10/2(1 cos-/-sin

«/ = -3-sin/.

Чтобы найти уравнение траектории, достаточно из этих уравнений исключить t; для этого перепишем уравнения движения в виде:

~sin-/=-

2 2,5V~2

cos / = ( --== А--= / •

2 \10 210/2 7 3

Возведя эти уравнения в квадрат и складывая их, получим уравнение траектории (эллипс):

18t/ + 2(jK + 4j/)=25.

Теперь вычислим проекции векторов скорости и ускорения на оси координат, по формулам (50) и (51):

х = х = -4 3sin/ + 4cosy/J,

.=, = 4Ieos-f/.



Отсюда по формулам (52) и (53) находим:

= {- (4х + 25у)1 + (X ч- 4)7}.

- л , т -ч л* -да=-j{A;t+y/)= -г,

где г-радиус-вектор точки М. Таким образом, вектор ускорения направлен противоположно радиусу-вектору движущейся точки.

§ 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧКИ ПРИ ЕСТЕСТВЕННОМ СПОСОБЕ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ . (задачи 323, 324, 336-349)

Если заданы траектория движущейся точки и закон ее движения по этой траектории s = f{t), то вектор скорости направлен по касательной к траектории, а его проекция на направление касательной определяется по формуле

(58)

причем абсолютное значение этой проекции равно модулю скорости, т. е.

ds dt

Вектор ускорения определяется по его проекциям на естественные оси (касательную, главную нормаль и бинормаль):

где Q -радиус кривизны траектории в данной точке.





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 [50] 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

0.0038