Главная Промышленная автоматика.

Следовательно.

Если плоская траектория задана уравнением y - f{x), то радиус кривизны траектории вычисляется по формуле

Q = -(61) Рассмотрим частные случаи:

1. Если точка движется прямолинейно и неравномерно, то радиус кривизны траектории q-.-оо и, следовательно, „ = 0.

В этом случае ускорение w направлено по прямолинейной траектории точки и по модулю равно

(62)

df"

2. Если точка движется по кривой равномерно, то

- const и = = О,

а потому ускорение w направлено по нормали к траектории и по модулю равно

w = n = - (63)

3. Если точка движется прямолинейно и равномерно, то

ш„ = 0, 10, = 0 и W - Q.

Пример 58. Вагонетка движется равномерно по закруглению радиусом /? = 600 м, причем ускорение ее центра тяжести равно а> = 0,0026 mjcck". Найти скорость центра тяжести вагонетки.

Решение. Так как центр тяжести вагонетки перемещается по окружности равномерно, то его ускорение ш направлено по радиусу этой окружности к центру и согласно формуле (59) по модулю равно

Но радиус кривизны окружности равен ее радиусу, а потому

откуда

v" = Rw



у =/pt = l/0,0026-600 = l/l,56 = 1,25-,.

Пример 59. Точка движется с постоянным тангенциальным ускорением а по окружности радиуса R без начальной скорости. Через сколько секунд после начала движения касательное и нормальное ускорения станут численно равны между собой?

Решение. Для решения задачи воспользуемся формулами:

~ Q R

Интегрируя уравнение dv = а dt,имеем:

dv= 5 ad/.

отсюда, принимая во внимание, что v = 0 и а = const, находим v = at и, следовательно.

В искомый момент времени /, касательное и нормальное ускорения равны между собой, а потому

откуда


Рис. 93

Пример 60. Точка движется по окружности; в некоторый момент ее скорость равна V, а ускорение направлено по хорде MN = l. Зная V я I, найти ускорение точки в этот момент (рис. 93).

Решение. Пусть на рис. 93 векторы МА и МВ обозначают соответственно ускорения w и w„. Тогда из подобия прямоугольных треугольников МАВ и MLN имеем:

W ML 2R w„~MN I

отсюда

2R 2R v



Пример 61. Машина идет по выпуклому мосту АВ. Ее центр тяжести М описывает при этом параболу у = - 0,005х, а расстояние s = <AM, отсчитываемое от точки А вдоль дуги пара-

болы, изменяется по закону s = -t-9Г + 60/ (х, у и s выражены в метрах, а t - в сек). Определить скорость и ускорение центра тяжести машины в тот момент, когда он находится в вершине параболы, если в этот момент скорость машины достигает минимума (рис. 94).


Рис. 94


Решение. Так как траектория и закон движения точки М по ее траектории заданы, то для решения задачи воспользуемся формулами (58), (59) и (60). Тогда имеем:

. = 1 = 2/ ш, = = 4/-18.

18/-ЬбО

to„ = -

Радиус кривизны траектории определим по формуле (61) (1+ гдеу= = -0.01х. / = 2 = 0.01.

Следовательно,

(1+0.000U)°< 0,01

Но в вершине параболы координата х точки М равна нулю, поэтому Q = 100 н.

. Остается определить, в какой момент времени машина достигает вершины параболы; так как скорость ее в этот момент

достигает минимума, то Д7 = 0, откуда 4/, -18 = 0 и /, = 4- =

= 4,5 сек. Следовательно, и, = 2/, -18/,+60 = 60-81-f 9-4,5= = 19,5 м\сек.

Так как в вершине параболы касательное ускорение т1 =

v (19 5)

равно нулю, то ш = ву„ = -= - = 3,8 мсек".





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 [51] 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

0.0036