Главная Промышленная автоматика.

§ 4. КОМБИНИРОВАННЫЕ ЗАДАЧИ (задачи 312 , 353, 355-358, 367-369, 371, 373)

К задачам этого типа относятся такие задачи, в которых требуется, исходя из уравнений движения точки в декартовых координатах, найти закон движения точки по ее траектории, т. е. выразить дуговую координату s в функции времени, а также найти касательное и нормальное ускорения точки и радиус кривизны траектории.

Чтобы найти закон движения точки по ее траектории, нужно из заданных уравнений движения определить скорость и и составить уравнение: ds - vdt.

Отсюда, интегрируя, получим:

s ( ,

\ds=\vdt,

«о о

s = s-\vdt,

где s„-значение дуговой координаты s при / = 0. Касательное ускорение определяется по формуле

иУЩИ, . • (64)

после этого нормальное ускорение можно найти из равенства

x.v„ = \f w"-w, . (65)

где .....

= +

Определив да„, найдем радиус кривизны по формуле

Q = -. (66)

Пример 62. Даны уравнения движения точки: •

x = akt,

t/ = -(e"--e-*) = ach(/eO. - ....

Найти траекторию, закон движения точки по траектории и радиус кривизны, траектории в зависимости от ординаты у.

Решение. Чтобы найти траекторию, достаточно исключить из уравнений движения время /; для этого найдем. значение t



из первого уравнения и подставим его во второе. Тогда имеем:

Следовательно, траектория точки есть цепная линия. Далее находим скорость v:

v=x = ak. = У = f (е** - е-*) == ak sh ikt),

VI = l/F+y = ak -j/H-sh ikt) = ak ch (fe/) = у (e** + e~

Предполагая, что s„ = 0, теперь имеем: t

s = J и d/ = J (e** + e-"*) dt = (e*-e"*) = a sh (kt).

Ускорения гг». и ш„ находим по формулам (51), (59) и (65):

= X = О,

11= / ? + i/ + ? = (е* + е-*) = ak" ch (fe/). - . = = Hch(fe/)] = f (е«-.-*),

ш„=/"да-t = afel/ch(fe/)-sh {kt) = ak".

Теперь по формуле (66) находим радиус кривизны траектории:

поэтому

а iy у"

пример 63. Даны уравнения движения точки: л; = 2/. y = 4t", z = 3/S

причем JK, у, Z выражены в метрах, а время / - в сек.

Найти радиус кривизны траектории в точке, где скорость v движущейся точки равна 5 mjcck.



Решение. Скорость и ускорение движушейся точки находим по формулам (50) и (51):

х = 2, y = 8t, 2 = 6/, 11 = 1/4 + 64/* + 36/" = 21/14 - 25/%

3 = 0, = 8, г = 6, да 1 = 1/64 + 36= 10.

Далее находим w, ш„ и q по формулам (64), (65) и (66):

10 .-zzzi . - :-;

dt 2 1+25F V

t.„ = /t?= /1 = 1/?гтда = ?2.

и 5 25 с ос

= = 20 =20= 4- = 6.25 М.

Пример 64. Точка описывает плоскую траекторию так, что проекция ее скорости иа ось Ох постоянна и равна с. Доказать, что в этом случае ускорение равно

да = .

где V - скорость,

е-радиус кривизны траектории (рис. 95).

Решение. Так как yjj = c = const, то Wx = x=0, т. е. вектор ускорения парал- q лелен оси Оу. Построив проекцию вектора скорости v = MA на ось Ох и про-екцию вектора ускорения

w = ME на нормаль к траектории, получим два прямоугольных треугольника МАВ и MED. В этих треугольниках углы / AViB и 2.EMD равны, как углы с перпендикулярными сторонами, а потому эти треугольники подобны. Отсюда находим:


Рис. 95

МА МВ

ME MD

MB = v = c, ME=w, MD = w„ = -, MA = o,

следовательно,





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 [52] 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

0.004