Главная Промышленная автоматика.

Глава II

ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ

Если твердое тело движется так, что две его точки остаются неподвижными, то такое движение тела называется вращательным движением вокруг неподвижной оси.

Прямая, соединяющая две неподвижные точки тела, называется осью вращения этого тела.

Если выбраны две плоскости, проходящие через ось вра щения, причем одна из них неподвижна, а вторая неизменно связана с вращающимся телом, то угол ф между этими двумя плоскостями, измеряемый в радианах и отсчитываемый в направлении, противоположном движению часовой стрелки, если смотреть с положительного конца оси вращения, определяет положение тела в любой момент времени / и является непрерывной однозначной функцией времени (рис. 96), т. е.

Ф = /(/). (67)

Равенство (67) называется уравнением, или законом, вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. Угол ф-ф„ называется углом поворота, или угловым перемещением тела. Рис. 95 Первая и вторая производные по

времени от угла ф называются соответственно угловой скоростью и угловым ускорением тела и обозначаются буквами (О и е, т. е.


При этом H = P = i = ceK-

(68)

г , радиан i 2

[е] = -5- = -2 = сек

сек" сек

Если число оборотов в минуту вращающегося тела равно п, то

(69)

(О -



Задачи, относящиеся к вращательному движению твердого тела вокруг неподвижной оси, можно разделить на три основных тина-

1) определение углового перемещения, угловой скорости и углового ускорения тела;

2) определение скоростей и ускорений точек вращающегося тела;

3) задачи, относящиеся к передаче вращательного движения от одного тела к другому.

§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УГЛА ПОВОРОТА, УГЛОВОЙ СКОРОСТИ И УГЛОВОГО УСКОРЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА, ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ

(задачи 375-385)

Если 03 = const и, следовательно, 8 = 0, то вращение тела называется равномерным; в этом случае

Ф = Ф„ + оз/. . (70)

Если 8 = const, то вращение тела называется равномерно переменным; в этом случае

(0 = (0„ + Е/, ф = ф„ + (0„/ + -. (71)

Если оз„>0, то при е> О вращение тела -равноускоренное, а при Е<0, вращение тела - равнозамедленное.

Пример 65. С момента выключения мотора пропеллер аэроплана, вращавшийся с угловой скоростью, соответствующей «= 1200 об\мин, сделал до остановки 80 оборотов.

Найти, сколько времени прошло с момента выключения мотора до остановки пропеллера, считая его вращение равномерно замедленным.

Решение. Гак как вращение пропеллера равномерно замедленное, то по формулам (71), считая Фо = 0, будем иметь:

Ф = сй„/ + е,

(о = (о„ + е/,

причем

пп .„ 1 <а„ = = 40к

30 сек

Так как пропеллер сделал 80 оборотов, то угол поворота равен ф ==80-2я= 160я рад.

Так как, кроме того, в момент остановки угловая скорость пропеллера равна нулю, то со = 0.



Таким образом, получаем два уравнения: Отсюда находим:

40к/ + = 160зх,

40к + е/ = 0.

е = -

следовательно,

40к/-у = 160к; , 160л о

Пример 66. В период разгона маховик вращается вокруг своей оси по закону

Ф = Т-

Определить угловую скорость и угловое ускорение маховика в момент, когда он сделает 27 оборотов. Решение. По формулам (68) находим:

dm 3 ,2

Далее находим, в какой момент времени t угол поворота ф будет равен 27-2л; = 54 п рад:

ф = Л-/» = 54к,

отсюда

=54-4 = 6 сек.

Угловая скорость и угловое ускорение в этот момент будут-равны:

(о = --зх-6 = 27зхЛ

4 ., сек

е = -7- л; 6 = 9л; -

2 "~ сек

§ 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ И УСКОРЕНИЙ ТОЧЕК ТВЕРДОГО ТЕЛА, ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ

, . (задачи 386-394)

Если твердое тело вращается вокруг неподвижной оси, то любая его точка, не лежащая на оси вращения, описывает окружность, плоскость которой перпендикулярна к этой оси, а





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 [53] 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

0.0049