§ 2. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ СКОРОСТЕЙ

Если течка М участвует в составном движении, то имеет место следующая теорема: абсолютная скорость точки равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей этой точки (рис. 116), т. е.

v = v,-\-v,. (86)

Если угол между векторами и обозначим а, то модуль и направление вектора абсолютной скорости определяются по

формулам (87) и (88):

= V vl + vf + 2v,v, cos a (87)

sin a sin p sin Y

где 3 и у-углы, образуемые вектором с векторами и v.

Задачи, относящиеся к этому параграфу, можно разделить на четыре основных типа.

Задачи типа /

(задачи 435, 439, 444)

Зная переносную и относительную скорости точки, найти ее абсолютную скорость.

Рещение задач этого типа сводится к построению параллст лограмма скоростей по двум смежным его сторонам Vg и v.

Пример 85. Круглый цилиндр радиуса г вращается вокруг

своей вертикальной оси Oz с угловой скоростью сй=у/* 1/сек. По поверхности цилиндра перемещается точка М по винтовому

-,/2

пазу по закону 8 = -г, где s есть длина дуги ММ винтовой линии.

Касательная к винтовой линии составляет с образующей цилиндра угол у = 30°. Определить абсолютную скорость точки М в момент t{t выражено в сек, а s-в м) (рис. 117).

Решение. Если систему подвижных осей Ох,у,г неизменно свяжем с цилиндром, то переносное движение будет вращательным вокруг неподвижной

оси Oz с угловой скоростью COg =

Wd = 1/се/с. Поэтому переносная скорость точки М будет направлена перпендикулярно к плоскости MO,z и по модулю

равна t)g = сй/= у г/". Относительным движением точки М (движением по отношению к цилиндру) является ее движение по заданной винтовой ли-

НИИ по закону s =-g-.Следовательно, относительная скорость точки М направлена по касательной к винтовой ЛИНИИ И по модулю равна

v,. = at CMJceK. dt

Рис. 117

Так как угол между векторами И v,. равен 90®-у = 60°, то по формуле (87) абсолютная скорость ТОЧКИ М будет равна

У„ = / VI + VI -h 2v,v cos (90°-у) = = /(г/)+Л + 2г/й/4 =

. ; , = -V {nrt + аГ -h SacMJceK.

Задачи типа II (задачи 433, 441-443) Зная абсолютную скорость точки и направления переносной и относительной скоростей этой точки, найти модули этих скоростей.

Решение задач этого типа сводится к построению параллелограмма скоростей по данной диагонали и направлениям двух смежных его сторон.

Пример 86. Механизм состоит из двух параллельных валов О и О,, кривошипа OA и кулисы 0,Б; расстояние между осями валов равно 00, = 30 слг, длина кривошипа OA равна 10 см. Кривошип вращается равномерно вокруг оси О с угловой ско-

ростью 03 = 4 1,сек. Найти переносную и относительную скорости точки А, а также угловую скорость w, кулисы в момент, когда кри-

угол ф = 60" (рис. 118).

вошип OA составляет с вертикалью

Решение. Если за подвижную систему отсчета выберем систему, неизменно связанную с кулисой 0,Б, то переносное движение будет вращательным вокруг оси О, с угловой скоростью ю,. Поэтому переносная скорость точки А будет перпендикулярна к О, Л и по модулю равна yg = 0,/4cu,. Относительное движение точки А, т. е. ее перемещение относительно кулисы, является прямолинейным вдоль 0,Б. Поэтому вектор относительной скорости этой точки направлен по прямой 0,Б. Но точка Л принадлежит одновременно и кривошипу OA, вращающемуся вокруг неподвижной оси О с угловой скоростью со = 4 , а потому

траекторией абсолютного движения точки Л, т. е. ее движения по отношению к неподвижной системе ся окружность радиуса ОЛ.

Абсолютная скорость точки Л направлена к ОЛ и по модулю равна

у„ = со ОЛ = 4 -10 = 40 сж/се/с.

Зная модуль и направление вектора и направления векторов и строим параллелограмм скоростей, в котором вектор Уд должен быть диагональю. Так как у J ™ из прямоугольного треугольника имеем:

y, = y„-sinY, y, = y„-cosy,

где у-угол между векторами y„ и у, равный углу ОЛО,. Для определения этого угла из треугольника 00,Л находим:

Рис. 118 координат Оху, являет-перпендикулярно

0,Л = ]/0,0-0Л -20,0 0Л cos(180°-Ф) = = )/30= + 10-f2-30-10cos60° = 10 /13,

О, Л

stay ~ sin (180°-ф) "sinq)

О, А