Главная Промышленная автоматика.

действующая всех сил, приложенных к этой точке, включая (в случае несвободной точки) и реакции связей.

В Международной системе единиц масса измеряется в кило-граммах, а сила - в ньютонах (н). Обычно массу тела находят как отношение его веса Р, выраженного в ньютонах, к ускоре-нию силы тяжести g = 9,81 MJceK, т. е.

т=~. (109)

Проектируя векторное равенство (108) на оси той или иной системы координат, получаем дифференциальные уравнения движения материальной точки в этой системе.

В прямоугольной системе декартовых координат имеем:

тх=Х; my = Y; rnz = Z (ПО)

где X, у, г-координаты точки, а X, У, Z-проекции действующей силы (равнодействующей) на соответствующие оси. В случае несвободной точки к этим уравнениям присоединяются уравнения связей. Если точка движется прямолинейно, то,, принимая эту прямую за ось х, имеем:

тх = Х. (111)

В системе естественных осей имеем:

"Й = - "Т = - 0 = ь. • . (112)

V-скорость точки; Q-радиус кривизны траектории; 7, F„, F,-проекции действующей силы соответственно на касательную, главную нормаль и бинормаль траектории.

Уравнения (112) называются эйлеровыми или естественными уравнениями движения материальной точки.

Пользуясь уравнениями (108) и (110), можно решать две основные задачи динамики точки.

§ 2. ПЕРВАЯ ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА ДИНАМИКИ ТОЧКИ

Эта задача заключается в том, что по заданному движению и известной массе материальной точки требуется определить силу, действующую на эту точку, или, если на материальную точку действует несколько сил, определить одну из них.

Решение этой задачи сводится к определению ускорения точки, которое в том случае, когда движение точки задано, нетрудно найти по правилам кинематики.



Задачи этого параграфа можно разделить на следующих два основных типа в зависимости от траектории движущейся точки:

I. Задачи, относящиеся к прямолинейному движению точки.

II. Задачи, относящиеся к криволинейному движению точки.

Задачи типа I

Задачи этого типа, в которых рассматривается прямолинейное движение точки, решаются при помощи уравнения (111); их можно разделить на две группы.

Первая группа

Задачи, в которых к движущейся материальной точке приложена одна сила. Необходимо определить эту силу.

Пример 98. Материальная точка массой m = 400 а совершает гармонические колебания по горизонтальной оси Ох по закону

л: = 20 sin g-/ {х выражено в см, t - в сек). Найти силу, действующую на точку в функции от х.

Решение. Находим проекцию ускорения точки на ось Ох-

w„=x = - 5л; sin -jr г -

2 сек" •

Далее находим проекцию на ось действующей силы: X = mw = - 400 • 5jt. sin у = -2000я sin .

Но з1пу/=-, а потому Х = -ЮОяд: дин.

Так как проекция силы на ось Ох и координата х движущейся точки противоположны по знаку, то искомая сила направлена вдоль оси Ох к началу координат О.

По модулю эта сила равна 986 \х\, т. е. пропорциональна расстоянию от движущейся точки до начала О.

Вторая группа

Ко второй группе относятся задачи, в которых к движущейся материальной точке приложено несколько сил, причем требуется найти одну из них.

К этой группе следует отнести такие задачи, в которых требуется определить неизвестную реакцию связи, что характерно для движения несвободной материальной точки.

Пример 99. Клеть весом Р поднимается с помощью каната, навернутого на барабан радиуса R, вращающийся вокруг непод-



вижной горизонтальной оси по закону:

Ф = --(е" + е-"") = асЬ (Ы).

Определить натяжение каната как функцию высоты подъема h (рис. 139).

Решение. При повороте барабана на угол ф клеть поднимается на высоту h = R(f. Силу натяжения каната обозначим через Т. На Jiлeть действуют две силы: натяжение каната Т и вес клети Р, причем Т>Р, так как ускорение клети направлено вверх. Равнодействующая этих сил F = T-Р. Применяя формулу (108), получим:

mw=T-P,

откуда

T=P + mw= P~-w = p{\+). Ускорение w клети найдем по формуле

Следовательно,

Т = -(ок + Р = Р


Рис. 139

Задача типа II

Задачи этого типа, в которых рассматривается криволинейное движение материальной точки, можно также разделить на две группы, как и задачи первого типа.

Первая группа

Задачи, в которых к движущейся материальной точке приложена одна сила; требуется определить эту силу.

Если движение точки задано уравнениями в декартовых координатах:

л:=Д(0; / = /Л0; 2 = /з(0. (113)

X, у, г - координаты точки; t-время,

то на основании уравнений (ПО) находим проекции искомой силы на три координатные оси:

Х = тх = mU [ty, Y = my = mf[ {t); Z = mx = mf, {t). (114)





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 [78] 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

0.0037