Главная Промышленная автоматика.

Затем нужно найти модуль действующей силы F и ее неправ-ляющие косинусы по формулам:

F = YX" + Y" + Z": (115)

X Y Z

c©sa = -; cosp = -; со8у = -р-. (116)

Пример too. Материальная точка массой т = 0,5 кг совершает движение согласно уравнениям:

x = 2t"+\; у = е-1; z = i-l,

причем координаты точки выражены в метрах, время - в секундах. Определить величину и направление силы, действующей на точку, в момент t = 1 сек.

Решение. 1. Находим проекции скорости данной точки на оси координат:

. k = 4t; y = 2t; z = 3t\

2. Находим проекции ускорения точки на оси координат:

х = 4; у = 2; z = 6/ = 6 (при / = 1).

3. На основании уравнений (114) находим проекции силы на оси координат:

Х = тх = 2; Y = ту=\; Z = mz = 3.

4. По формулам (115) и (116) находим модуль силы и направляющие косинусы:

~ F = /2 + Р -Ь3 = /Т4«3,74н;

cos а = 3 = 0,334; cos р = 3- = 0,26?;

откуда

cos у = = 0,804, а = 57°41; р = 74°30; у = 36°42.

Если же движение точки задано естественным способом, т. е. задана траектория точки и закон ее движения по этой траектории s = fit), то следует, воспользовавшись уравнениями (112), найти проекции искомой силы F на естественные оси, а затем по этим проекциям вычислить ее модуль.

Пример 101. Материальная точка массой т = 2 кг описывап-

криволинейную траекторию по закону s= 12 sin (s выражено в aj,

t-в сек). В данный момент она занимает положение М и имеет скорость и=3 ж/се/с, причем радиус кривизны траектории в точке М равен 6 м. Найти в этот момент силу, действующую на эту материальную точку.



Решение. Находим скорость точки и проекции ее ускорения на касательную и главную нормаль траектории:

ds „ t dv п . t v" ху

Согласно условию, в данный момент t имеем t) = 3 мкек; поэтому 6cos= 3, откуда cps = - и ™ *

Следовательно, в этот момент

о . я 3 У"з

W. = -3 8Ш =--- .

« = =2 •

Теперь на основании уравнений (112) находим проекции искомой силы на касательную и главную нормали:

F = mw = - 3V3, F = mw„ = 3. Отсюда искомая сила

F = FI + F% = 6h.

Вторая группа

Задачи, в которых к движущейся материальной точке приложено несколько сил и одну из них требуется найти.

В этой группе, также как и в задачах второй группы типа 1, часто встречаются такие задачи, где требуется определить неизвестную реакцию связи при движении несвободной материальной точки.

Пример 102, Центробежный регулятор состоит из двух шаров А и В весом Р каждый, муфты С весом Q и четырех одинаковых невесомых стержней AC = BC = DA = DB = I, закрепленных по концам шарнирно. Регулятор вращается вокруг неподвижной вертикальной оси г. Определить усилия в стержнях и угловую скорость регулятора, предполагая, что угол а, образуемый каждым из стержней с вертикалью, имеет заданное постоянное значение а (рис. 140).

Решение. Рассмотрим движение шара А, принимая его за материальную точку, которая описывает




окружность, расположенную в горизонтальной плоскости, с центром в точке О, и радиусом, равным R. К этому шару приложены три силы: вес Р и реакции 5, и 5 стержней AD и АС, направленные вдоль этих стержней и равные искомым усилиям. Применяя уравнения движения материальной точки в естественной форме, т. е. уравнения (П2), и проектируя все силы, приложенные к шару А, на естественные оси т, п и 6, показанные на рис. 140, имеем:

dv п ""di-

m = (S, + S,) sin a,

0 = (S, -Sjcosa -P,

или, учитывая, что v=aR = mlsma, получим:

ml sin a = 0, di

ml sin aa" = (S, + sin a, 0 = (S,-S,)cosa-P.

Следовательно,

S, + S = -jl(i>\ (0 = const.

Аналогичным соотношением удовлетворяют действующие на шар В реакции и стержней BD и СВ, причем, очевидно, Sj = 5, и S,=S. Рассмотрим теперь муфту С, к которой приложены вес Q и реакции Si, S стержней С А и СВ, равные по модулю и противоположные по направлению силам S, и S. Так как при а = const муфта С по оси z не перемещается, то сумма проекций всех приложенных сил на ось z равна нулю, т. е.

Q - (S, -ь Si) cos а = Q - (S, + S,) cos а = 0.

Таким образом, мы получили следующие три уравнения для определения неизвестных Sj, и ©:

1) 5, + S, = -Z«; 3) Q = 2S,cosa.





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 [79] 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

0.0038