Главная Промышленная автоматика.

Решая эти уравнения, находим:

2 COS а

2 cos а

/ Р cosa

Пример 103. Материальная точка массы т движется в плоскости Оху в сопротивляющейся среде под действием силы притяжения к центру О, равной F = -kmr, где й = const, г-ра диус-вектор этой точки. Найти силу сопротивления среды как функцию скорости, если известны уравнения движения точки:

х = ае~" (sin kJ+ а),

y = be" sin (fe/-fp).

причем

Решение. 1. Находим проекции скорости и ускорения движущейся точки на ось Ох:

v = x = ae-"* [fe, cos (kj + a)-n sin (kj + a)] ау = х = ае-"* [(n-fe?) sin (fe, + a)-2nfe, cos (fe,+ a)];

так как

n -fe? = 2n -fe,

X [fe, cos {kj + a)-n sin (kJ + a)] = - kx-2nv.

w = - kae-"- sin (fe,-f a)-2ane-"x

Ha основании уравнений (96) имеем:

a потому

откуда

F = - kmr,, = - femx.

mw = - femx + F,

-mkx-2mnv = - kmx + f

F = -2mnn .

Аналогично находим Fy = - 2mnv, Следовательно, искомая

cилaf, = -2innv, т. е. сила сопротивления среды, пропорциональна скорости точки и направлена противоположно этой скорости.



Классификация задач

Группы

Типы

задач

(прямолинейное движение)

(криволинейное движение)

Задачи

Задачи

(к движущейся точке при-

649-651 *

652, 672, 673

ложена одна сила)

Задачи

Задачи

(к движущейся точке при-

637 , 638, 640, 648,

644-646, 656, 663,

ложено несколько сил)

653-655, 658,

667. 669, 670, 671

659-661, 662

§ 3. ВТОРАЯ ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА ДИНАМИКИ ТОЧКИ

Эта задача заключается в том, что по заданным силам, приложенным к движущейся материальной точке, массе этой точки и начальным условиям ее движения (начальному положению и начальной скорости), требуется определить движение этой точки. Для рещения этой задачи необходимо:

1) установить, какие силы действуют на материальную точку;

2) составить дифференциальные уравнения движения точки в форме (110) или (112);

3) проинтегрировать эти уравнения;

4) определить по начальным условиям движения произвольные постоянные, которые войдут в интегралы этих уравнений.

Если интегрирование дифференциальных уравнений движения точки сводится к квадратурам, как в приводимых ниже примерах, то будем вычислять эти квадратуры в соответствующих пределах, т. е. будем вычислять определенные интегралы, причем нижние пределы интегрирования определяются начальными условиями движения точки. Тогда отпадает необходимость определения произвольных постоянных. Заметим, что почти во всех задачах, помещенных в сборнике И. В. Мещерского и относящихся ко второй основной задаче динамики точки, имеются два типа дифференциальных уравнений: или уравнения с разделяющимися переменными, или линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Задачи эюго параграфа можно разделить на следующие три основных типа.

I. Задачи, относящиеся к прямолинейному движению свободной материальной точки.

* Номера задач указаны из сборника И. В. Мещерского изд. 1950 г. и последующих изданий.



п. Задачи, относящиеся к криволинейному движению свободной материальной точки.

III. Задачи, относящиеся к движению несвободной материальной точки.

Задачи типа I

Задачи этого типа, в которых рассматривается прямолинейное движение точки, можно разделить на четыре группы.

Первая группа

Задачи, в которых равнодействующая всех сил, приложенных к данной материальной точке постоянна.

Если траекторию прямолинейного движения точки принять за ось X, то дифференциальное уравнение движения точки в этом случае примет вид

тх = Х = const,

откуда

х= - = const.

Так как в случае прямолинейного движения точки ускорение ее w = x, то ш = const, т. е. движение точки является равнопеременным. Поэтому по формуле кинематики для пройденного пути при равномерно-переменном движении имеем:

s = x-x„=vj + - ,

где t)„-начальная скорость точки. Отсюда

x = x + vj + . (117)

Это уравнение выражает закон прямолинейного движения точки под действием постоянной силы.

Если в задаче требуется найти скорость v как функцию от расстояния X, то левую часть уравнения (108) приведем к виду

du dv dx dv

dt dx dt dx

тогда уравнение (111) принимает вид откуда

dv X .

V = - = const, dx m





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 [80] 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

0.0046