Главная Промышленная автоматика.

ff. е.

v" = vl + 2{x-x,). (118)

Пример 104. Материальная точка массы т = 0,б кг движется под действием постоянной силы F=\Oh. В начальный момент скорость гочки равна у„ = 2 ж/се/с. Определить скорость точки в гот момент, когда она пройдет расстояние s = 5 ж.

Решение. Так как скорость точки требуется найти как функцию расстояния, то по формуле (118) имеем:

v" = vl + 2(x-x,).

т. е.

d = 4 + 2-.5 = 204, и,о

откуда

у = 14,28 MJceK.

Вторая группа

Задачи, в которых равнодействующая всех сил, приложенных к одной материальной точке, есть функция времени t.

В этом случае дифференциальное уравнение движения имеет

тх = Х =f{t).

Так как x=Vx~v, то получаем дифференциальное уравнение первого порядка

mdv=f(t)dt.

Интегрируя это уравнение в соответствующих пределах, имеем;

mv-mv„ = f(t)dt,



Интегрируя это уравнение первого порядка, получим х как функцию от t, т. е. найдем искомый закон движения точки.

Пример 105. На материальную точку, совершающую прямолинейное движение, действует сила F, равномерно убывающая с течением времени и по истечении Т сек обращающаяся в нуль. Какой скорости достигнет точка по истечении Т сек и какой путь она пройдет за это время, если в начальный момент {t = 0) скорость точки равна нулю, а ее ускорение равно (рис. 141)?

Решение. Так как сила f, действующая на материальную точку, убывает равномерно с течением времени, то F = F-at, причем а = const.

Рис. 141,

В начальный момент ускорение точки равно w, поэтому F„ = mw; кроме того, при t = T по условию F = 0, а потому f„-аГ=0; отсюда

Следовательно, дифференциальное уравнение движения точки на основании равенств (111) запишется так:

=/? = тш„(1-у), или uv=w(\-ydt.

Интегрируя это уравнение в пределах от t)„ = О до у и от О до t, имеем:

~ dx

Так как v = -, то

откуда

•=«>.{i-it)-

dx = w[t-l)dt.

Интегрируя это уравнение в пределах от О до л; и от О до t, находим;



Чтобы найти скорость у, и пройденный путь к моменту времени Т, достаточно в предыдущих равенствах положить время t равным Г сек.

Тогда имеем:

Т - ®„Т« » 2

Третья группа

Задачи, в которых равнодействующая всех сил, приложенных к данной материальной точке, есть функция координаты этой точки. В этом случае дифференциальное уравнение движения точки имеет вид

mx = X = f{x),

dv г, ч m = fix).

Чтобы свести это дифференциальное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными, преобразуем левую часть:

dv dv dx dv

di~dx"di~dx

Тогда

mv dv

-fix).

dx или

mvdv = f{x)dx. (120)

Отсюда, интегрируя это уравнение в соответствующих пределах, имеем:

f(x)dx. (120)

Из этого равенства находим скорость v как функцию от расстояния X, т. е. v = = (p(x), или, разделяя переменные = dt

и проинтегрировав это уравнение первого порядка, найдем зависимость между X и t. Если f (х) является линейной функцией от X, то уравнение (111) будет линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Поэтому для рещения этого уравнения можно воспользоваться общей теорией интегрирования таких дифференциальных уравнений, т. е. составить соответствующее характеристическое уравнение, найти его корни и затем-общее рещение данного диффе-





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 [81] 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

0.0056