Главная Промышленная автоматика.

ренциального уравнения. Две произвольные постоянные в общем решении находятся по начальным условиям движения точки.

Пример 106. Материальная точка М массы т движется прямолинейно по оси Ох. Точка отталкивается от неподвижного центра О силой F, пропорциональной массе т и расстоянию, причем коэффициент пропорциональности равен fe = 4. Найти закон движения точки, если начальное расстояние ее от центра О равно х = 5 м, а начальная скорость t)„ = 2/ice/c (рис. 142).

Рис. 142

Решение. Первый способ. По условию задачи f=/г/пх, поэтому дифференциальное уравнение движения имеет вид

тх =- kmx,

х=Лх.

Так как в данном случае f(x) = 4mx, то по.формуле (120) гжеем*

vdv = 4xdx,

откуда

1. е.

5 vdv = 4lxdx = 2(x - xl), • {v~vl) = 2ix-xl),

. = = 2l/.-24

Отсюда

т. е.

= 2dt.

= 2t.

In X+ Vx-24\l=:2t,

2 = In

x+ Vx-2i



Следовательно,

Из этого соотношения находим: откуда

Второй способ. Так как в данном случае функция f(x) = 4mx является линейной функцией от х, то дифференциальное уравнение (120) является линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Для реи1ения этого уравнения воспользуемся теорией интегрирования линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и составим соответствующее характеристическое уравнение: и"-4 = 0. Найдем его Корни: ы, = 2 и ы, = -2.

Следовательно, общее решение выразится так: x = C,e"H-C,e-*.

Постоянные С, и С находим по начальным условиям движения. Для этого сначала найдем скорость точки, продифференцировав последнее уравнение по времени t:

t; = = 2C/-2C,e-*.

В начальный момент при t = 0 согласно условию имеем: x„ = 5 и у„ = 2.

Следовательно, . откуда

таким образом.

С.+С, = 5, 2С,-2С, = 2,

С,=3. С, = 2;

х = 3е" + 2е~"\

Четвертая группа

Задачи, в которых равнодействующая всех сил, приложенных к данной материальной точке, зависит от скорости этой точки, что имеет место при движении точки в сопротивляющейся среде.



в этом случае дифференциальное уравнение движения имеет

dv ,, , ,

или, разделяя переменные,

Отсюда

= dt.

Выполняя здесь интегрирование и разрешая затем полученное уравнение относительно v, находим скорость точки как функцию времени, т. е.

Следовательно,

dx = \p(t)dt

x = x, + ip{t)dt. (122)

Это уравнение выражает искомый закон движения точки. Если в задаче требуется найти скорость v как функцию расстояния X, то левую часть уравнения (108) преобразуем:

dv dv dt-x-

Тогда уравнение (109) принимает вид

или, разделяя переменные,

mv dv

откуда

= dx.

пример 107. Материальная точка массы /п = 0,1 /сг движется прямолинейно под действием постоянной силы 7 = 0,3 н. Движение происходит в среде, сила сопротивления которой выра-





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 [82] 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

0.0037