Главная Промышленная автоматика.

Жается линейной функцией скорости

R = 0,2v + 0,lv\

где V-скорость точки. Найти закон движения точки, если начальная скорость равна нулю (рис. 143).

Решение. Изобразим действующие силы на рисунке. Сила F направлена в сторону движения, а сила R - противоположно скорости. По формуле (111) дифференциальное уравнение движения точки имеет вид.

0,U = 0,3-0,2»-0,lt;.

Так как в данном случае равнодействующая всех приложенных сил есть линейная функция от скорости, т. е.

/(w) = 0.3 -0,Ь -0,2&,

В R м V о----«-о-в-

Рис. 143

то по формуле (121) имеем:

"0

откуда

3-2o-t)"~ 3 4~(l + t))«

4 3(1 -

Из этого уравнения находим v:

v = -

+ 3

Воспользуемся далее уравнением (122) и найдем искомый закон движения точки:

J „4( 1

Чтобы вычислить этот интеграл, сделаем замену переменных

e = г;

тогда dz = 4zdt



Следовательно,

Задачи типа II

Задачи этого типа, в которых рассматривается криволинейное движение свободной материальной точки, можно также разделить на четыре группы.

Первая группа

Задачи, в которых движение материальной точки происходит под действием постоянной силы.

Пример 108. Начальная скорость снаряда » = 490 MJceK Под каким углом а к горизонту следует бросить этот снаряд из начала координат, чтобы он попал в точку с координатами f/ = 700 м, г = 680 ж?

Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Решение. Ось z направим по вертикали вверх, а ось у- по горизонтали так, чтобы начальная скорость снаряда лежала в плоскости Ozy.

Тогда, как известно (см., например, курс теоретической механики И. М. Воронкова, § 100), снаряд будет двигаться в вертикальной плоскости zOy, причем уравнения его движения имеют вид

y = vJcosa, 2 = y„sina-~,

Исключая отсюда /, получаем уравнение траектории (параболы):

z=ytga -

2vl cosа

или, заменяя -V- на l+tga, получаем: COS СЬ

2 = i/tga-fJ(l+tga).

Подставляя сюда значения у = 700; г = 680; g = 9,8; у„=490, получаем:

tga-70tgaH-69 = 0.

Решая это квадратное уравнение относител.ьно1да, находим: tga, = l; tga, = 69,



откуда

:45°; а =89°


Пример 109. Частица М массы т, несущая заряд отрицательного электричества е, вступает в однородное электрическое поле постоянного напряжения Е, имеющего горизонтальное направление, с вертикальной скоростью v.

Определить дальнейшее движение частицы, зная, что в электрическом ноле на нее действует сила F = eE, направленная в сторону, противоположную напряжению поля. При решении задачи учесть действие силы тяжести Р (рис. 144). Решение. За начало коорди-- нат О возьмем начальное положение частицы, ось х направим по горизонтали в сторону, противоположную напряжению поля, а ось у-по вертикали Bjepx (рис. 144). Тогда проекции равнодействующей сил Р и F на оси к я у будут равны:

X = F = еЕ = const; Y= - P = - mg = const.

Дифференциальные уравнения движения частицы, согласно уравнениям (ПО), имеют вид:

тх = еЕ,

my = - mg:,

dx eE dt ~ т " .

Рис. 144

Отсюда

dx--

dt; dy = -gdt.

Интегрируя эти уравнения в соответствующих пределах, получаем:

Но «„ = »„, = О и y = v„ = v, поэтому dt ~ т " ~dt

dx еЕ , di! ,





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 [83] 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

0.0038