Главная Промышленная автоматика.

Решение. Обозначим F силу, притягивающую точку М к центру О, и F силу сопротивления среды, направленную противоположно скорости V точки М. Тогда

F = - сг и F= -

Обозначая аир углы, соответственно образуемые радиусом-вектором г точки М и вектором v скорости этой точки с осью X, составляем дифференциальные уравнения движения точки в декартовых координатах:

тх = Х = - F cos а-F cos р = - сг cos а-\xv cos Р; my = Y = - f sin a-F sin p = - cr sin a-[iv sin p.

Или после подстановки числовых значений

х-[-5х + 6х = 0; у + 5у + 6у = 0.

Дальнейшее решение задачи зависит от характера полученных дифференциальных уравнений. В данном случае получены независимые друг от друга линейные дифференциальные уравнения второго порядка, и для решения их можем воспользоваться теорией интегрирования таких уравнений, известной из курса математики. Составляем характеристическое уравнение, . соответствующее первому уравнению:

ы+5ы + 6 = 0,

отсюда

ы, = -2; ы, = -3.

Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения выразится так:

х = С,е-" + Се-К

Совершенно аналогично для второго дифференциального уравнения получаем:

у = С,е-" + С,е-К .

Отсюда

л; = -2С.е--ЗСе-*, у = - 2С,е-"* - ЗС,е-\

Подставляя начальные данные в найденные для х, у, хну выражения

/, = 0; лг„ = 0; у„ = 30; л;„ = 20, г;„ = 10,

имеем:

0 = С. + С,; 20 = -2С.-ЗС„ 30 = С, + С,; 10 = -2С,-ЗС,.



Отсюда

С. = 20; С, = -20; С,= 100, С,= -70.

Таким образом, окончательно получаем следующие кинематические уравнения движения точки;

; = 20(е-*-е-*); у \0 {Юе*-7е-%

Задачи типа III

Задачи этого типа, в которых рассматривается движение* несвободной материальной точки, можно разделить на две группы.

Первая группа

Задачи, в которых рассматривается движение несвободной точки по заданной неподвижной линии.

В этом случае, поскольку траектория точки известна, проще воспользоваться дифференциальными уравнениями движения


Рис. 147

Рис. 148

точки в естественной форме (П2); при этом необходимо учесть реакции связей, т. е. нормальную реакцию и силу трения (если трение учитывается).

Пример 112. Известно, что на прямолинейном участке железнодорожного пути с углом наклона а вагон, получив некоторую начальную скорость вниз по уклону, движется затем равномерно.

Считая сопротивление движению пропорциональным нормальному давлению колес на рельсы, определить закон движения этого вагона, если он будет двигаться вниз без начальной скорости по прямолинейному участку пути с углом наклона Р>а (рис. 147 и 148).

Решение. Вагон движется поступательно под действием веса Р, нормальной реакции N и силы сопротивления 7, которая направлена по наклонной плоскости вверх, противоположно движению вагона.

Сначала рассмотрим равномерное движение вагона по пути с углом наклона а.



Согласно уравнениям (110), имеем:

тх = mg sin а - F, ту = то cos а-N.

Так как вагон движется прямолинейно и равномерно, то л: = 0, у=0; поэтому N = mg cos а и F = mg sm а. Согласно условию,

F = fN,

где /-коэффициент сопротивления. Следовательно,

mg sin а = / mg cos а,

откуда

/ = tga.

Теперь рассмотрим второй случай, когда вагон движется по участку пути с углом наклона р.

Аналогично предыдущему на основании уравнений (110) имеем (см. рис. 148):

тх = mg sin р - F, ту = - mg cos + N = 0.

Так как ускорение w вагона параллельно оси х (рис. 148), то Wy = y = 0, поэтому N = mgcos и F = fmgcos, следовательно, mx = mg sm-fmgcos fi, или, подставляя значение / и сокращая на т, получим:

x = g{sm р -tgacosр),

х = - • sin (Р-а) = const, cos а \f

Следовательно, вагон движется с постоянным ускорением W = ~- sin (р-а). Поэтому по формуле для пройденного пути

COS ct

при равномерно ускоренном движении без начальной скорости имеем:

x = -fr = rr- sin (В-а). 2 2 cos а

Это и есть искомый закон движения вагона.

Пример ИЗ. Материальная точка весом Р=1,9б н, лежащая на горизонтальной поверхности стола, привязана к неподвижной точке О нитью длиной / = 35 см. Точке сообщена начальная скорость f„ = 4,9 mjcck, перпендикулярная к направлению натянутой нити, вследствие чего точка описывает на столе окружность (рис. 149). Найти скорость точки и силу





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 [85] 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

0.0041