Главная Промышленная автоматика.

натяжения нити через 1 сек после начала движения, если коэффициент трения / = 0,25.

Решение. К данной материальной точке приложены силы: вес Р, нормальная реакция стола Л, сила трения F.,p = fN и натяжение Т нитч.

Составляем уравнения движения точки в форме Эйлера (в проекциях на касательную, нормаль и бинормаль):

= Г; 0 = N-P.

Из последнего уравнения N= Р = mg; следовательно, dv


Рис. 149

aT== - f"g откуда dv = - fgdt и v = - fgt + C.

Так как

v = v, при = 0, то C = i;„; поэтому у = у„-fgt. При =1 и при числовых данных задачи имеем: у = 4,9-0,25-9,8 = 2,45 ж/сек.

Из второго уравнения Эйлера, учитывая, что q = / = 0,35 Му находим натяжение нити в момент t = 1 сек:

ymi Pi 1.96-2. 45" I ~ gl 0,35-9.8

= 3.43 н.

Вторая группа

Ко второй группе относятся задачи, в которых рассматривается криволинейное движение точки по данной неподвижной поверхности.

В этих задачах следует составлять дифференциальные уравнения движения точки в координатной форме, учитывая при этом, кроме равнодействующей F заданных сил. приложенных к движущейся точке, нормальную реакцию поверхности и силу трения Ftp- Поэтому дифференциальные уравнения движения точки имеют вид:

my = Py-\-Ny-\-P7: \ (124)

mz = P,-{-N, + F7. )

Если к этим уравнениям присоединить уравнение Кулона где /-коэффициент трения, и уравнение связи (т. е. уравнение




поверхности ф (л;, г/, г) = О, по которой перемещаете л точка, то получим систему пяти уравнений, из которых можно определить все пять искомых величин: х, у, г, N и F-rp. Если трение отсутствует, то последние члены в правых частях уравнений (124) исчезают.

Пример 114. Материальная точка М движется по гладкой наклонной плоскости с углом наклона а под действием собственного веса Р; ее начальная горизонтальная скорость перпендикулярна к линии наи-г\ большего ската этой

< плоскости. Определить

\ 7 движение этой точки и

ее траекторию, а также реакцию наклонной плоскости (рис. 150).

Решение. Начало координат выберем в начальном положении материальной точки, а оси X и у-лежащими в наклонной плоскости, причем ось X-горизонтальна, а ось у-параллельна линии наибольшего ската; ось z направим по нормали к наклонной плоскости. Так как на точку М действуют сила тяжести Р, направленная по вертикали вниз, и реакция наклонной плоскости Л, перпендикулярная к этой плоскости, то дифференциальные уравнения движения точки запишутся так:

тх = Х = 0,

my=Y = - Р sin о =г - mg- sin а, mz=--Z - N-Р cos а.

Так как точка М движется в плоскости хОу, то получим 2 = 0 (уравнение связи) и, следовательно, z = z = 0; поэтому N - Pcosa = 0, откуда N = Pcosa.

Остается проинтегрировать первые два уравнения, которые перепишем в виде:

Рис. 150

dt dt

= - ff sin а.

Интегрируя эти уравнения, получим:

const =

"о»

y-yo - Sf sin а.



x„v„, = v„, у„ = у„ =0,

а поэтому

=§=0 г/ = = -sina.

Отсюда, интегрируя и принимая во внимание. что "0=0 = 0, находим:

x=vj, 4/ = - sina.

Эти уравнения определяют движение точки М по наклонной

плоскости.

Исключая отсюда параметр t, находим траекторию этой точки:

Это - парабола, расположенная под осью Ох.

Посмотрим теперь, как изменится решение этой задачи, если учесть силу трения между материальной точкой и наклонной плоскостью, равную

где /-коэффициент трения.

Третье дифференциальное уравнение движения точки М (относящееся к оси г) остается, очевидно, без изменения; поэтому N = Pcosa и, следовательно. Ftp =/Рcosa = const. Так как сила трения направлена противоположно скорости v, то

Ftp = - fp cosa - .

Отсюда

Ftp;, = -/Pcosa=-/Pcosa-J,

Ftpv = - fP cos a = -fp cos a •

Следовательно, дифференциальные уравнения движения точки М в плоскости хОу после сокращения на т имеют вид:

x = - fgcosa, =-gsina-/gcosa -.

Интегрирование этих дифференциальных уравнений можно выполнить, пользуясь приближенными методами.

Пример 115. Тяжелая материальная частица массы т движется по внутренней поверхности шероховатого круглого





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 [86] 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

0.0068