Главная Промышленная автоматика.

цилиндра x-\-y - R = 0. Коэффициент трения между частицей и цилиндром равен k. В начальный момент частица находится на оси Ох и получает скорость v, перпендикулярную к оси Ох

и составляющую с плоскостью хОу угол а. Составить дифференциальные уравне-

ния движения частицы и определить ее давление на связь. Проинтегрировать полученные уравнения в случае гладкой поверхности ( = 0) (рис. 161).

Решение. Частица М {х, у, г) движется под действием трех сил: веса Р, направленного по вертикали вниз, нормальной реакции цилиндра, направленной по внутренней нормали к его поверхности, и силы трения тр, направленной противоположно вектору скорости V. Найдем проекции этцх сил на каждую из трех координатных осей:

Р = Р = 0; P, = ~mg; N = 0; N = - Ncos(p; Ny = - Nsm({>,

где ф-угол, образуемый с осью Ох проекцией радиуса-вектора точки М на плоскость хОу.


Рис. 15/

Так как со5ф = -р-, 81Пф = -,

N = - N ~ у R

Далее имеем:

где - - единичный вектор скорости. Отсюда

F7 = -kN.



Следовательно, уравнения (124) принимают вид:

1) mx = - N~-kN~;

2) my = - N--kN; \ (а)

3) mz = - kN ~-mg.

Присоединяя к этим уравнениям уравнение связи

х+-/? = 0, (й)

мы получили систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными X, у, г VL N. Продифференцируем дважды уравнение связи:

хх + уу=0. (в)

х+хх + у + уу = 0. (г)

Умножим первое из уравнений (а) на х, второе -на у и сложим их почленно:

mixx +yy) = -NR~-N{xx + yy). Учитывая соотношения (в) и (г), получим:

N = - ~{xx -[-yy).

Подставляя найденное значение N в уравнения (а), получим систему нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих координаты л:, и 2, а также первые и вторые производные от этих координат по времени.

Так как решение этой системы дифференциальных уравнений представляет собой сложную математическую задачу, то рассмотрим частный случай, когда поверхность цилиндра гладкая.

Тогда система (а) принимает вид:

1) mx = - N

2)my = -Nf; 3) тг = - mg.

Чтобы исключить из первых двух уравнений силу N, поделим



почленно первое уравнение на второе; тогда имеем:

X X

у У

откуда Но

а поэтому Так как то

Следовательно,

ху- ух = 0.

ху- ху = (ху-ух) = О,

ху-г/дс = const. x = Rcos(p, y = R sin (р, xy-yx = - R" (p - const.

Ф = const = C,.

Постоянную С, находим из начальных условий движения:

0 = 0, x=R, у = г„ = 0, х„ = 0, t;„ = y„cosa,

Ио COS а

z„ = w„ sin а. С, = ф„ -

Отсюда

da> v„ cos а

Фо=0

Vf. COS а ,

Таким образом,

г, /i>oCOSa,\ г, . i;ocosa,\

x = Rcos{--tj ; = /? sin " 1 tj.

Интегрируя третье уравнение системы (а) и определяя произвольную постоянную интегрирования, получим:

z = -V + o si""-





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 [87] 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

0.004