Главная Промышленная автоматика.

Введем обозначения: ~ = k и J = 2rt. Тогда

имеем

Если k>n, то движение точки является колебательным и общее решение этого уравнения имеет вид:

х = е-" (А coskj + r smkj) = e-"i-as\n(k,t+а), (132)

где k = Vk-n.

Рис. 155

Постоянные А я В (либо а и а) определяются по начальной скорости t)„ и начальной координате следующим образом:

либо

fe,

« = i;/A::-4 + (t.„+rtx„)%.

(133)

Уравнение (131) есть уравнение затухающих колебаний. Период затухающих колебаний определяется по формуле

(134)

Г = -=

Моменты времени, в которые точка получает максимальные отклонения от начала координат (положения равновесия), образуют арифметическую прогрессию с разностью, равной полупе-т

риоду "2 . Амплитуды затухающих колебаний образуют убывающую геометрическую прогрессию, знаменатель которой называется декрементом затухания и обозначается буквой D, причем

D = e

(135)

Величина InD называется логарифмическим декрементом.

Пример 118 Материальная точка совершает прямолинейные колебания в сопротивляющейся среде под действием силы, пропорциональной расстоянию от этой точки до неподвижного центра О. Сила сопротивления среды пропорциональна скорости точки. В начальный момент л: =0 и v = l mIcck. Зная, что



период колебаний Т = 2 сек, а декремент затухания D = ~,

найти закон движения точки (рис. 166).

Решение. Выберем начало координат в неподвижном центре О; ось х направим по прямолинейной траектории точки, силу притяжения к центру О обозначим F, а силу сопротивления среды обозначим R. Тогда

F = - cx, Р = -

где с и р -постоянные коэффициенты; дифференциальное уравнение движения точки имеет вид:

+ 2n% + k"x = 0, где 2/г = - и k" = - , а т-масса точки.

О F R м Ь г

L-f--•-?--"-

Рис. 156

Решение этого уравнения найдем по формулам (132) и (133): X = е-" (х„ cos + 5±р sin kj или, подставив значения х и у„, получим:

л: = е-" sinft,

Чтобы найти постоянные А, и п, воспользуемся формулами (134) и (135):

Г = = 2се/с и D = e =4-.

отсюда

= я и е-" = , или п = 1п2.

Закон движения точки принимает вид:

е-Ип 2 sin nt =-п-•

поэтому

2- sin я< х =----.



§ 3. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ (задачи 853-861)

Если на материальную точку М, движущуюся по оси х, кроме силы F, пропорциональной расстоянию х, и силы сопротивления среды, пропорциональной скорости v, действует еще некоторая периодически изменяющаяся сила F, которую назовем возмущающей силой (рис. 156), то дифференциальное уравнение движения точки запищется так:

Пусть, например, возмущающая сила изменяется по закону F = Hsm{pt + ).

Тогда, полагая -= Л и сохраняя обозначения, принятые в предыдущем параграфе, получим:

g + 2« + fex = /isin(p/ + P). (136)

При ft>rt общее решение этого уравнения имеет вид:

X = ае-" sin {kj + a) + b sin {pt + P + у), (137)

(138)

Первый член правой части равенства (137) представляет собой затухающие колебания, а второй-так называемые вынужденные колебания.

Постоянные а и а определяются по начальным условиям движения. Если ft°>2rt*, то при

p = Vk-2n (139)

амплитуда вынужденных колебаний достигает максимума, равного

При отсутствии сопротивления R = 0, а следовательно, и /г = 0; дифферегщиальное уравнение движения точки принимает вид:

+ kx = hsmipi + p). (141)





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 [90] 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

0.0037