Главная Промышленная автоматика.

Полагая в равенствах (137), (138) « = 0, имеем его общее решение:

x = a-sm{kt + a) + b sin{pt + ),

b= fe/p. при кфр. (142)

Первый член последнего равенства представляет собой свободные колебания, второй член - вынужденные.

Если частоты свободных и вынужденных колебаний совпадают, т. е. если p = k, то возникает резонанс, тогда решение уравнения (141) представляется в виде

л: = а sin(kt + a)-~cos(pt + R).

(143)

В этом случае амплитуда вынужденных колебаний неограниченно возрастает с возрастанием t.

Пример 119. Тело весом Р = 49 н, погруженное в жидкость, подвешено на пружине, статическое удлинение которой под

действием веса этого тела равно 1 см.

Свободный конец пружины совершает вертикальные колебания около неподвижной точки /4„ по закону Уа = А„А = 0,05 sin 5nf, причем Уа выражено в метрах, t-в секундах.

Сила сопротивления жидкости при движении груза пропорциональна его скорости v и при у = 1 ж/сек равна 15,7 н. Найти амплитуду вынужденных колебаний (рис. 157).

Решение. Выберем начало координат О в положении равновесия тела, предполагая при этом, что конец А пружины находится в точке Л„; тогда Л„0 = /„ + + сг, да /„-длина недеформированной пружины, Х„-ее статическое удлинение.

Ось у направим по вертикали вниз. В некоторый момент t, когда тело занимает положение М, длина пружины

1 = 1, + К + у-А„А,

а ее удлинение

X = / - /„ = Х„ -Ь г/- Л „Л = Х„ + у- 0,05 sin 5nt.




Если жесткость пружины обозначим с, то реакция пружины f = сЛ = сХ„-- Cf/-0,05с sin bnt, ио сХс = Р, поэтому

F = P + су-0,05 с sin 5nt. Сила сопротивления жидкости

где ц-коэффициент пропорциональности, v - скорость тела. Дифференциальное уравнение движения тела имеет вид:

mg = P-F-fi=-Ci/ + 0,05csin 5nt-ii§.

% + 2n + ky = hsm5nt,

А = ?-0.05*.

Мы получили дифференциальное уравнение (136), в котором нужно положить р = 5я и р = 0. Поэтому искомую амплитуду вынужденных колебаний находим по формуле (138):

h O.OSfe .

разделив числитель и знаменатель на k, получим:

0,05

Подставим числовые значения входящих сюда величин:

"-1=5-= «-. "--.яг

Следовательно,

b= ££L=At»6,7 см. г---- 1.57)



Пример 120. Колеблющаяся масса вибрационного грохота, установленного на наклонной плоскости с углом наклона а (рис. 158, а), приводится в движение при помощи двух пружин жесткостью с hjm каждая, соединенных с ползуном В криво-шипно-шатунного механизма. Длина / щатуна АВ значительно больше длины г кривошипа OA, так что первой и более высокими степенями отношения у можно пренебречь, т. е. можно

считать, что ползун В движется по тому же закону, что и проекция А пальца А кривошипа на ось х. Вес грохота равен Gh. Определить вынужденные колебания грохота, пренебрегая потерями на трение, если кривошип вращается по закону Ф = соЛ При каком числе оборотов в минуту кривошипа наступит резонанс?

О) . 6)


Рис. 158

Решение. Обозначим среднее положение ползуна (при ф=.0) через В„, а смещение ползуна из этого положения - через Хд тогда имеем:

Хв = Б„В OA =г sin ф = / sin at.

Смещение х центра тяжести грохота отсчитываем от того положения S„, в котором он находился бы при среднем положении ползуна, если бы система оставалась в покое. Очевидно,

G sin а

т. е. B„S„-статическая деформация пружин привода грохота под действием составляющей его веса, направленной вдоль наклонной плоскости. Отсюда деформация пружин (см. рис. 158, б, гДе смещения ползуна и грохота показаны в увеличенном масштабе) выразится следующим образом:

к = Хд-X - Я..,





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 [91] 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

0.0036