отсюда находим время:

mjjdt.

Если в задаче требуется определить скорость, то это уравнение нужно разрешить относительно v.

Рис. 163

Пример 124. В тот момент, когда скорость моторного судна равна выключается мотор, и судно движется, испытывая сопротивление воды, величина которого пропорциональна скорости, причем коэффициент пропорциональности равен р-: масса судна равна т. Через какой промежуток времени скорость судна уменьшится вдвое (рис. 163)?

Решение. Вес судна Р уравновешивается архимедовой силой А. В горизонтальном направлении действует одна только сила сопротивления воды R, направленная в сторону, противоположную скорости судна. Направляя ось х в сторону движения, имеем:

т. е. X является функцией от v. Поэтому применяем теорему о количестве движения в дифференциальной форме (148):

d (mv) = Xdt = - \ivdt. Разделяя переменные, получим:

Движение точки происходит под действием силы, зависящей от скорости, т. е. X=f{v). В этом случае теорему о количестве движения следует применять в дифференциальной форме (148):

d (mv) = Xdt = / (v) dt.

Теперь интегрируем в соответствующих пределах:

откуда

- \Lt

In V

In и -In v. =--- t.

» m

Отсюда находим:

1п2.

ц t)„ [X tl [X 0.5 ti„ x

Задачи типа II

Задачи этого типа, в которых рассматривается криволинейное движение точки и требуется найти скорость точки или время движения, можно разделить на такие же три группы, как и задачи первого типа:

1) движение происходит под действием постоянной силы;

2) движение происходит под действием силы, зависящей от времени;

. 3) движение происходит под действием постоянной силы в среде, сопротивление которой пропорционально первой степени скорости.

В этих трех случаях теорема о количестве движения дает первые интегралы дифференциальных уравнений движения. В первом и во втором случаях, т. е. когда сила постоянна или является функцией времени, теорема применяется в конечной форме, выражаемой уравнениями (147). Из уравнений (147) по заданным проекциям силы находят проекции скорости на координатные оси. В третьем случае теорема применяется в дифференциальной форме.

Первая группа

Так как в этом случае сила f = const, то и ее проекции на координатные оси х, у, z постоянны. Поэтому теорему о количестве движения можно применять в конечной форме (147).

Следовательно, имеем:

mv-mVox = Xt, mVy-mVgy = Yt; mv-mv„ = Zt.

Из этих уравнений определяются проекции скорости, а затем и скорость V. Наоборот, зная проекцию скорости на какую-либо ось, можно найти время.

Пример 125. Определить, пользуясь теоремой о количестве движения, время, в течение которого тело, брошенное под углом а„ к горизонту с начальной скоростью и„, достигает максимальной высоты (рис. 164).

Решение. Координатные оси располагаем в плоскости движения тела, причем ось х направляем горизонтально, а ось

Рис. 164

у-вертикально вверх. Составим уравнение, выражающее изменение проекции количества движения на ось у:

mvy-mvy = Sy = - 5 Pd/ = - 5 d/ = -mgt,

HO vy = 0 (в наивысшей точке скорость тела горизонтальна).

и оу =о sin а„, а потому

f о sin а,

Вторая группа

В этом случае сила F, а следовательно, и ее проекции на координатные оси являются известными функциями времени, т. е.

Теорема о количестве движения применяется здесь в конечной форме (147).

Выполняя интегрирование, находим из этих уравнений

проекции скорости, а затем и скорость v.

Пример 126. На материальную точку массой т = 2 кг действует сила, проекции которой на координатные оси равны:

X = 6 cos 2t; F = 6sin2/; Z=-6sin2/

(сила выражена в н, время /-в сек).