Главная Промышленная автоматика.

Определить скорость точки в момент 7 = л = 3,14 сек, если в момент <, =сек ее скорость и, равна по модулю

2 ж/се/с и составляет с координатными осями х, у, z углы, равные соответственно 30°, 60° и 90°.

Решение. Так как проекции силы на координатные оси являются функциями времени, то теорему о количестве движения можно применить в конечной форме (147). Для этого вычислим сначала проекции на координатные оси импульса действующей силы за промежуток времени от момента /, до момента t:

5 = 5 Xdt=6 \ cos(2/)d/ = 3 sin2/" =0,

S=\ Ydt = 6\ sin (20d/ = -3cos2/ = -бнсе/с.

Так как Z отличается от Y только знаком, то S = 6 н -сек. Далее на основании уравнений (147) получаем:

mw,,-/nt),3 = S = 6. Отсюда при /п = 2 находим проекции искомой скорости:

Так как

u, = t),-cos30° = /3; t),y = t),-cos60°= 1, t),2 = t),-cos90° = 0,

f., = 3.

Следовательно,

f, = fL + + = Kl6 = 4 ж/сек.



Если углы вектора с координатными осями обозначим а, р, у, то

cosa

/3 4

cos р

-0,5.

cosy

0,75.

Отсюда a = 54°30, P = 120°, у = 48°30.

Третья группа

В этом случае проекция силы на каждую из трех координатных осей является линейной функцией проекции скорости на ту же ось, и теорему о количестве движения применяют в форме (146).


Рис. 165

Прежде чем интегрировать уравнения (146), надо разделить переменные, для чего достаточно эти уравнения разделить соответственно на X, Y, Z; последующее решение аналогично решению в случае прямолинейного движения точки под действием силы, зависящей от скорости.

Пример 127. Решить пример 125, учитывая сопротивление воздуха, величина которого выражается формулой

R = kPv,

где k - постоянный коэффициент, Р-вес тела, v-его скорость (рис. 165).

Решение. Координатные оси располагаем так же. как в примере 125 (см. рис. 164). Так как на тело действует сила, которая является функцией скорости, то теорему о проекции количества движения на ось у применяем в дифференциальной форме

d (mVy) = Y dt;



Y = - P-R sma = - Р {I+ kv sin a) = - P (1 + to,). Следовательно,

mdVy = - mg (1 + kVy) dt,

откуда

g(i+kVy)-

Учитывая, что Vy изменяется в пределах от sin а„ до нуля, имеем:

coSin Оо

ln(l+toj

Vq si n Oo

= ln(l+o Sin a„).

Задачи типа III

В задачах этого типа известно количество движения точки в начальный и конечный моменты, а следовательно, и его проекции на координатные оси. Проекции искомого импульса силы определяются по формулам (147), т. е.

S = mv - mv, Sy = mVy-mvy, S = mv,-mv„,.

По этим проекциям находятся модуль и направление импульса S.

Пример 128. Материальная точка М перемещается по шероховатому криволинейному желобу, расположенному в верти-У кальной плоскости хОу, под

! действием собственного веса Р.

Угол трения равен ф. Начальная скорость этой точки, когда она занимает положение А, составляет с вертикальной осью Оу угол а и по модулю равна а ее конечная скорость в точке В направлена по горизонтальной оси Ох и по модулю равна V. Найти импульс нормальной реакции N желоба за промежуток времени t, в течение которого точка М переместилась из Л в В (рис. 166).

Решение. Применим теорему о количестве движения ма-


Рис. 166





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 [95] 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

0.0045