Главная Промышленная автоматика.

5. Вращательное движение твердого тела под действием постоянного момента или момента, являющегося функцией угла поворота тела; в этом случае для вычисления работы применяется формула (171).

Для вычисления мощности в зависимости от характера движения пользуемся формулой (177) при прямолинейном или криволинейном движеним точки приложения силы (задачи 760, 764), или формулой (179) - в случае вращательного движения твердого тела (задачи 771, 772, 765). Среднюю мощность можно определять по формуле (178).

Пример 131. Вдоль тяги, при помощи которой тянут вагончик по горизонтальному пути, действует постоянная сила / = 250 н (рис. 172). Тяга образует с горизонтом угол а = 32°. Определить работу, совершенную силой F на пути о = 200 м.

Решение. Здесь работу определяем по формуле (169):

Л = cos а = 250 • 200 • 0,848 = 4240 дж.

Пример 132. Тело весом Р = 20 н передвигают по горизонтальному полу при помощи горизонтальной силы на расстояние

о = 6 м. Определить работу, ко-


торую совершит при этом сила трения, если коэффициент трения между поверхностью тела и полом / = 0,35.

Решение. Согласно закону Кулона, сила трения Frp=fN, где Л-нормальное

давление тела на поверхность пола, причем в данном случае Л/=Р = 20 н. Так как сила трения направлена в сторону, противоположную движению, то работа этой силы отрицательна:

Л,р = -/Ро = -0,35-20-6 = -42 дж.

Пример 133. Найти работу силы тяжести при перемещении материальной точки из положения M„(x„, го) в положение М (X, у, г), а также вычислить потенциальную энергию точки в положении М (рис. 173).

Решение. Направляя ось z вертикально вверх, имеем:

Х = 0; У = 0; Z = - P,

где Р-вес тела. Следовательно, по формуле (162)

dA= - Pdz,

Л = -Pdг = -P(2-2j = P(2„-г). (182)



т. е. работа силы тяжести роена произведению веса материальной точки на разность ее высот в начальном и конечном положениях, причем эти высоты отсчитываются от произвольно выбранной горизонтальной плоскости.

Потенциальную энергию точки определим на основании формулы (175):

dn = - dA=Pdz. (183)

Отсюда

Я = Рг + С.

где С - произвольная постоянная интегрирования *.

Пример 134. Определить работу силы упругости растянутогс стержня, к концу которого подвешен груз М, при перемещении этого груза из поло-жения М„ в положение М, если длина недеформированного стержня равна вычислить также потенциальную энергию точки в положении М (рис. 174).

Решение. Обозначив силу упругости F и направив ось х по вертикали

вниз, имеем: р

г - сх.

----у

Рис 173

Рис. 174

где X-удлинение стержня, с-его несткость. Следовательно,

dA = Xdx = - сх dx,

А== - cxdx = - -- (х-х1),

dn = - dAcxdx,

отсюда

(184)

(185)

* Обычно потенциальная энергия определяется с точностью до произвольной постоянной, т. е. в выражении потенциальной энергии произвольную постоянную отбрасывают, так как при решении задач приходится иметь дело или с дифференциалами и производными от потенциальной энергии, или с разностью значений потенциальной энергии для двух положений точки или системы.



Пример 135. На материальную точку действует сила, проекции которой на координатные оси выражаются так:

Х = 2х + у; Yx + z"; Z = 2yz-\-l.

Определить работу этой силы при перемещении точки из положения М„(1; 2; 3) в положение /И, (2; 3; 4), если сила выражена в н, а координаты - в см.

Решение. Выясним прежде всего, существует ли в данном случае силовая функция: для этого находим частные производные:

ду дх dz ду

f = 0; , = 0. дх дг

Отсюда получаем, что

ax aK.ay az.az дх

ду ~ дх дг~ду дх

т. е. условия (164) выполняются, и силовая функция существует. Полный дифференциал этой функции равен элементарной работе, т. е. dU = dA. Элементарную работу находим по формуле dAXdx + Ydy + Zdz или, подставляя значения X, Y, Z:

dA = {2х + y)dx + {x + z") dy + {2yz +l)dz =

= 2xdx + ydx + xdy + z4y + 2yzdz -f dz.

Это выражение действительно является полным дифференциалом

dA-d {x")+d (xy)+d {yz)+d {z)=d {x+xy+yz"+z). Итак,

dU = d (x" -f xy + yz" -b z).

Отсюда

U = x" + xy + yz"+z + C. Значения функции U в точках /И„ и /И равны: f/„= 1 + 1-2-1-2-3-1-3 + С= 24-Ь С, f/, = 2 + 2-3-b3-4-b4+C = 62-f С.

Следовательно, искомая работа равна

Л = f/, - f/„ = 62 - 24 = 38 н слг.

Пример 136. Определить работу центральной силы, модуль которой является функцией расстояния материальной точки от центра этой силы, т. е. F = f(r) (рис. 175).





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 [99] 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

0.0037