lo этой передаточной функции при известном задающем воздействии можно оценить динамическую точность импульсной jAy, найдя решетчатую функцию ошибки.

Основным звеном цифровой САУ является вычислительная 1ашипа, которая преобразует дискретные сигналы, поступаю-1ие на се вход, в дискретные сигналы выхода. Преобразование 1искретных сигналов осуществляется в соответствии с онреде-lennoH программой работы машины. Передаточная функция хифровой вычислительной машины - это отношение изображений входного и выходного сигналов (см. рис. 4.1), которые взяты в безразмерной (цифровой) форме:

(4.10)

где E*{z) и U*{z) - изображения (-преобразования) рсшет-,Яатых функций е*[пТ\ и «*[п7]. На практике обычно Тереходя от изображений к оригиналам, из выражения (4.10) можно получить разностное уравнение для машины:

ае"" {пТ - кТ\-\-...-\- ае* [пТ - Г] + йо* \пТ\ = i= b,u* [пТ- sT]+ biu* [пТ - Т] + b,a* [пТ], (4.11)

которое соответствует линейному алгоритму ее работы. Из уравнения (4.11) следует, что значение выходного сигнала оп-.ределяется предыдущими его значениями и настоящими и предыдущими значениями входного сигнала, следовательно, на практике программа машины может быть реализована.

Передаточная функция разомкнутой цифровой САУ (см. рис. 4.2) .может быть определена как произведение передаточных функций машины и непрерывной части системы, которая объединяет преобразователь и объект управления:

W(z)D{z)Wo(z). (4.12)

Тогда зависимость между изображениями входного сигнала у[пТ] и входного е[пТ] будет и.меть вид

y{z)=Wiz)E{z). (4.13)

Учитывая, что Е (z) = X {z)-Y (z), из выражения (4.13) полу-чае.м

V(z)== W{z)X(z);[\ + W{z)] = Hiz)X{z),

E{z) = X{z)l[\+W{z)]HAz)X{z),

где N{z)=:W{z)/[l + W{z)]

- дискретная передаточная функция за.мкнутой САУ, а

(4.14) (4.15) (4.16)

цифровой

(4.17)

- дискретная передаточная функция ошибки замкнутой цифровой САУ.

Передаточные функции W{z), H{z) и (z) используются для оценки динамических свойств и качества цифровых си-стем. Формулы (4.12) - (4.17) относятся к простейшей одно-канальной цифровой САУ с единичной обратной связью. Аналогично передаточные функции могут быть определены и для .других структурных схем более сложного вида.

Рассмотрим частотные передаточные функции цифровых САУ. Подадим на вход системы (см. рис. 4.2) решетчатую функцию, которая представляет собой синусоидальную последовательность

е\п.Т] = а sin {пТ->г) (/г = 0, 1, 2, ,..), (4,13)

где а-амплитуда; ф - начальная фаза; 7 - период повторения; (О -угловая частота; 7i = 2n/(o - период синусоидальной последовательности. В общем случае синусоидальная последовательность (4.18) в отличие от непрерывной гармонической функции является непериодической функцией п. Она будет периодической функцией только при соизмеримости периода повторения (Т) и периода гармонической функции {Т{). В символической записи синусоидальная последовательность (4.18) заменяется последовательностью комплексных чисел:

[пТ] - ае! <« = ае«"Г,

где а=аес-комплексное число. Если обозначить е" = 2, то получим

ec[nT]=dz\

где Z - произвольное комплексное число с модуле.м, равным единице. Тогда каждой частоте будет соответствовать определенная точка на окружности с единичным радиусом, которая расположена на комплексной плоскости (рис. 4.5).

Частотные передаточные функции цифровой СЛУ можно найти из дискретных передаточных функций посредство.м подстановки в выражения (4.12), (4.16), (4.17) г = е": для ра-зо.мкнутой систе.мы

У7(е>) = D (е"-) Wo (erj, для замкнутой систе.мы

Н{е"П= WieJ-)![l + W{eJ")]. для ошибки замкнутой системы

ЯЛе"0 = 1/[1+ W{ei-)]. Эти частотные передаточные функции характеризуют цифро-П2

вую СЛУ со структурной схемой, изображенной на рис. 4.2. Аналогично можно получить частотные передаточные функции и для других структур СЛУ. Зная частотные передаточные фу;;кцйи, .моллю построить различные частотные характеристики СЛУ в функции круговой частоты (0. Но построение и.х осложняется трансцендентностью исходных выражений, содержащих ы, и периодичностью всех характеристик, поэтому на практике при синтезе и анализе цифровых САУ применяются частотные передаточные функции и частотные характеристики с использованием так называемой псевдочастоты. Переход к псевдочастоте делается на основании м-преобразова-ния, при помощи которого окружность с радиусо.м г= g/o)T i отображается на мнимую ось плоскости комплексной величины со.

Комплексные величины со н z связаны .между собой били-нс;"п!ыми преобразованиями:

z{\+w);{\ - да),

ia = {z-\)!iz+]).

Подставив в выражение (4.20) z=e>, получим

W = {е-" - 1 )!{е"-г !) =7 tg (u)/у2) = /7.,

где A=lg((o7/2) - относительная псевдочастота, псевдочастота определяется из выражения

/.r-:2/!74g(<»772)] =-2/(ХГ).

(4.19) (4.20)

Абсолютная

(4.21)

В случае воздействия па входе цифровой САУ медленно ме-ггяющегося гармонического сигнала (что соответствует работе этоП системы ил низких скоростях) tg(o)r/2)~ft)7/2 и псевдочастота Ксы. Следовательно, при малых частотах частотные характеристики, построеьч:ые в функции псевдочастоты, практически совпадают с частотными характеристиками, построенными в функции обычной круговой частоты. Подставляя в выражения для частотных передаточных функций Xf(z), И(z) и o{z) значения z из выражения (4.19) и заменяя к. = /(7/2)л. Получаем частотные передаточные функции; для разомкнутой цифровой САУ

W (Jl) =.W[\+jiГ/2) X]/[1 -у (772)Ц,

8 Зяказ 166 113