для замкнутой цифровой САУ

* (Д) Я [ 1 +7 (772) ?-]/[!-/(Г/2) /-],

для ошибки замкнутой цифровой САУ

Я:(А)-Я, [ 1 +7(772) М/11 -У (Г2) Ч-

<Р ,град;/.*,дБ

- Si7

Рис. 4.6.

Построение частотных характеристик в функции абсолютной нсевдочастоты X не вызывает каких-либо трудностей. Например, пусть разомкнутая цифровая САУ имеет дискретную передаточную функцию в виде W(2) = = й7/(2-1), где к - коэффициент передачи системы; Т - период дискретности. Частотную передаточную функцию при

использовании круговой частоты определим после подстановки z=cxp(/(orj:

kT .kT юГ

COS »T - i -\- J .sill шГ

a при использовании абсолютной псевдочастоты % - после подстановки выражения (4.19) в исходную передаточную функгцш W(z) и замены ш = /(7/2)л:

k\\ -j(Ti2)\]

Последняя фор.мула совпадает с обычной формой выражений передаточных функций непрерывных САУ. Это позволяет легко построить логарифмические частотные характеристики: ампли-тудные (ЛАХ) и фазовые (ЛФХ) для передаточной функции #*( .) в функции нсевдочастоты. Обе эти характеристики представлены на рис. 4.6, где L* и ф* - ЛАХ и ЛФХ цифровой САУ соответственно.

4.2. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ

Важнейшей характеристикой качества цифровой САУ является ее устойчивость. Известные из теории автоматического управлении основные определения устойчивости непрерывных САУ применимы и к цифровым системам, но с учетом их особенностей.

Цифровая САУ устойчива, если ее собственные процессы с течением времени затухают. Оценку устойчивости цифровой САУ, как и непрерывной, обычно производит на основании исследования характеристического уравнении (4.9), которое можно получить, приравнивая к нулю знаменатель передаточной функции замкнутой систе.мы (4.16):

1 -i- W{z)= \ +D{z) Wo = 0.

Поскольку переменная z появилась от подстановки z=eP, то каждый корень zi связан с корнями pi на плоскости р зависимостью z, = ei. Нетрудно заметить, что нулевому корню (например, pi=-=0) соответствует корень Zi = l, а отрицательным вещественным корням Pi соответствуют корни z,<l (г=1, 2, 3, т), где т - порядок характеристического уравнения. Таким образо.м, цифровая САУ будет устойчива, если все корни характеристического уравнения лежат внутри окружности с единичным радиусом, построенной в начале координат комплексной плоскости Z (рис. 4.7,а). При наличии корней 2,>1 система неустойчива.

Im Z

тт1 W

1тл р

0 Вер

Рис. 4.7.

Для определения расположения корней характеристического уравнения относительно единичной окружности мОжно использовать алгебраический критерий устойчивости Рауса-Гурвица, накладывающий огранич.ения па коэффициенты характеристического уравнения замкнутой системы (4.9):

М (z) = a,„z" + a„ iz"-i +... -f a,z + йо.

Практически этот алгебраический критерий устойчивости применяют при тЗ, так как для уравнений более высокого порядка исследование устойчивости резко усложняется. В табл. 4.1 приведены условия устойчивости цифровых САУ для разных значений т. Для облегчения определения устойчивости цифровой САУ используется впедеииое ранее оу-преобразова-ние (4.20), с помощью которого единичная окружность (см. рис. 4.7, а) отображается на мнимую ось (рис. 4.7,6). Областью устойчивости п первом случае является внутренняя часть круга, а во втором - левая полуплоскость. Во втором случае область устойчивости аналогична области устойчивости в плоскости величины р = с + /со (рис 4.7,б), где границей устойчивости является ось мнимых значений. Поэтому для передаточных функций с .-преобразованием могут использоваться обычные критерии устойчивости исследования непрерывных САУ.

Следует отметить, что об устойчивости цифровых СЛУ предлагаемым способом можно судить лишь в дискретные моменты t=nT (п=1, 2, ...), т. е. в моменты замыкания импульсного элемента. В большинстве случаев при исследовании цифровых САУ этого бывает достаточно. Тогда ле, когда на выходе цифровой системы могут возникнуть скрытые колебания между моментами замыкания импульсного элемента, можно воспользоваться метода.ми, предлагаемыми в литературе. Возможггость возникновения таких скрытых колебаний в цифровой САУ обусловлена, например, наличием в системе колебательных и консервативных звеньев с частотами свободных колебаний, кратными я/7 или п/{Ту1~у) (у - коэффициент затухания колебательного звена).

Основные показатели качества процессов цифровых САУ аналогичны показателям непрерывных САУ - показателя.м качества переходного процесса (время переходного процесса tn, перерегулирование а, число перерегулирований п или показатель колебательности М) и точности работы системы в установившихся режимах. Переходный процесс в цифровых САУ может быть определен с помощью обратного г-преобразования или частотных методов. Оценку показателей качества переходного процесса производят но и.мнульсной переходной функции