Если требуется определить максимум функции, то е>0, и «овое значение радиус-вектора будет равно

"i = "о + So grad f о-

.Значениям Го и ri соответствуют значения функции <((го)< <ф1(г1). Производя расчеты по указанной методике, получим возрастающую последовательность

9{Го)< 9 inX {гХ ... < ?{г,)< ... , (5.21)

которой отвечают последовательности го, гь • . ., Гп и ео, ei, .. ., £„, ... Последовательность (5.21) является монотонно возрастающей и ограничена сверху пределом ф*, поэтому для сколь угодно малого значения е 1!аблюдается такое .малое вещественное число б, что ф(/„(-1)-ф(г„) I <б. Из этого неравенства при достаточно больпюм п следует, что гт1+1-Гп] будет также мало. На основании выражения (5.20) запишем

I «+1 -fnnl grad 9„К I grad о„ ,

откуда, переходя к пределу при фпО, получим

grad 9* = 0. (5.22)

Равенство (5.22) показывает, что в предельной точке получено экстремально-максимальное значение функции ф*. Аналогично можно определить и минимальное значение функции. Для оп-,ределения экстремального значения функции многих переменных методом градиента не требуется производить дополнительных проверок по вторым производным. Однако при этом необходимы расчеты ири разных начальных значениях х", поскольку функция может и.меть несколько экстремумов.

Методы определения оптимального управления на основе множителей Лагранжа и линейного (нелинейного) программирования. Другая группа методов определения оптимальных упраилепий, соответствующих экстремальному значению критерия качества статических режимов, основана на использовании методов множителей Лагранжа и .чипейного и нелинейного программирования. Эти методы позволяют найти экстремальное значение не только линейных функций, по и нелинейных:

J = F{X, U). (5.23)

Нахождение экстремального значения связано с дополнительными условиями, определяемыми уравнениями статики объекта:

I (х„ X,;... , х„; Ни и,, ..., к„) I = Ф (X, U) = О, (5.24)

Где Ф (X, и) = ф,(А, «) - •;атрица-столбец размерностью («XI).

Для определения экстремума нелинейной функции (0.23) «рн условиях (5.24) методом множителей Лагранжа составляет-

ся функция Лагранно

L (X, U, X) = (Х, U) + ).Ф (X, И), (0.25)

где Я,=>ч11-вектор-строка (1Х)-множителей Лаграижа. Затем определяется экстремум функции (5.25), условие.м существования которого является равенство нулю частных прои.звод-ных этой функции по всем 1!езависимым неременным:

dxj ~ dxj 2j дXJ- ty - 1. . • • • , l

= (=1,2, ...,;n); (5.26)

.p,(X, u)-=0 (/=1, 2, n).

Рещение системы уравнений (5.26) позволяет найти оптимальное уравнение и .

Для решения задачи оптимального управ.текпя с помощью метода программирования рассмотрим два случая. В первом задача решается с помощью линейного программирования.

Пусть имеются система ли1!ейиых уравнений статики объекта:

АХ = В (5.27)

п линейная функция, характеризующая статический режим работы объекта, т. е. критерий качества:

УСХ. (5.28)

Здесь A = ia,7i - матрица условий размерностью тХ« при т<п; \=\\Х\, Х2, XnV - вектор раз.черностью яХ1; В = = 116], 62, .., матрица размерностьюmXI; C--4:ci, Сг. . ,

Cnii - матрица раз.мсрностью 1Х«. Экстремум критерия качества (5.28) обусловлен решением системы уравпснин (5.27) в виде так называемой программы оптимальных уравнений объекта в статике: XiO; хгО; лпО. Каждому статическому режиму объекта соответствуют определенные значения матриц А и В, поэтому программа оптимальных уравнении, состоящая из набора чисел .г/ при /=1, 2, . .., п, которые удовлетворяют условиям (5.27) и критерию качества (5.28), будет непостоянна.

Для нахождения програм.мы оптимального управления применяют метод последовательных улучшений этой программы, который из-за большого объема вычислений, как правило, выполняется на ЭВМ. Встречаются ситуации, когда задача линейного программирования не имеет решения, т. е. экстремальное значе1ше критерия качества определить невозможно.

Задача определения оптимального управления может решаться с помощью нелинейного программирования, которое используется, если критерий качества /(X) или некоторые уравнения объекта ф/(Х) являются нелинейными функциями координат.

Решение задач нелинейного программирования осуществляют ра.пообразными методами. При использовании распространенного па практике метода последовательных улуч1пепий программы предусматривается замена получеппой задачи нелинейного программирования последовательностью задач квадратического програм.мирования.

Задачи нелинейного программирования в зависимости от типа нелинейных функций f (X) и /(X) мог.ут иметь разную сложность. Если нелипейной функцией является критерий качества /(X), а условия задачи (Х) линейны, то для решения задачи можно использовать метод линейной аппроксимации. При этом нелинейная функция /(X) заменяется линейной относительно новой нереме1Н10Й Y для допустимой фиксированной точки Х;0, т. е.

(Y;.-y(X?)+grad,/(Xy(Y-Xf).

В результате этого нахождение экстремума нелинейной функции У(Х) при заданных линейных ограничениях АХ = В и ХО заменяется пахождепие.м экстремума линсйпоп функции:

./;(¥) = grad У (X?)Y

при линейных ограничениях AY=B и YO. Определяется первое приближение оптимального решения YO для принятого Х? L":-0. Затем производится проверка выполнения неравенства

grauj(X?)(Y?-X?) -О, (5.29)

при удовлетворении которого условие X? 0 является оптимальным" решением нелинейной задачи Х°0. В выражении (5.29) знак больше берется при .минимизации функции /(X), а знак меньше - при максимизации функции /(X). При невыполнении неравенства (5.29) с учетом полученной разности y" -X? при-нн.мается повое приближение допусти.мой фиксированной точки:

XS==X?--s(Y?-Y2),

где 8 -сколь угодно малое число. Далее решение задачи повторяется при новом фиксировагшо.м значении Хг, и после определения Y" проверяется условие (5.29).

Если нельзя применить линейную аппроксимацию, для решения задачи используют другие методы нелинейного программи-оовапия.