Рис. 1.37. Структурная схема объекта для периода разгона

В качестве фазовых координат выберем отклонение э. д. с. двигателя i установившегося значения:

и сигнал, кропорциональный динамическому току, X2=iRii-f.

При этом координата Х2 имеет условное ограничение \х2\Хщ=д На участке запаздывания наибольшее быстродействие будет при максимальж управляющем воздействии и=(Ум. При этом j(i = £y=const Координата определяется дифференциальным уравнением первого порядка

с начальными условиями (=0; Хг=-!: iRo=X2-{-f=0. Решив это уравнение, получим

X2=-f+pl»(l-e-/).

В коипе участка запаздывания

(=(,=Г1п

Pl/н

- =0,02 In-

5-100

-=3,4-10-» сек.

5-100-20

Структурная схема объекта для периода разгона показана на рнс. 1 37.

Так как ступенчатое воздействие / ри.1ожеыо до начала дви-жения, то - =0, и движение объекта описывается уравнениями.

= - е

= - (рС/м-/-Яу+д:.-л=).

(1.127)

В соответствии с принципом максимума при оптимальном управлении без учета ограничения координаты .ta функция

должна иметь максимальное значение, для чего иеоб.ходимо применить уравнение

и=и„ sign 4)2.

На основании формулы (1.125)

dlt2 Ф1 11)2

е 7-"

dt Т • dt

Решив эти уравнения, получим

ф,=С.еЧс2е«.

где С] и Сг - постоянные, зависящие от начальных значений iJ>io и lb:

Pel и Рсг - корни характеристического уравнения вТр-вр+1=0.

Функция 11)2 может при изменении / изменить знак не более одного раза. Поэтому управление при отсутствии ограничения Хо имеет два интервала:

и„ при ilJ2>0;

- {/ч при 11)2<0.

В нашем примере имеется ограничение по j:., н поэтому число интервалов управления в соответствии с уравнением (1.126) при r=/=ft должно быть

m=(H-l)(n-H-l)-l = (l--l)(2-l--l)-l=3.

ТиристориыГ! преобразователь ТП для упрощения расчета примем безынер. ционным с ксэффицнентом усиления по напряжению 6 = 100. Максимально* управляющее воздействие на входе преобразователя (/ы=5 е. Электродвигатель необходимо разогнать до установившейся скорости, при которой э. д. с , двигателя «=£1=200 е.

Полагаем, что возмещающее воздиктвке имеет ступенчатую форму и во» никает в момент включения двигателя. Тогда переходный процесс разбивает! на два этапа. На первом этапе (участок запаздывания) двигатель остаетсй неподвижным и происходит нарастание тока от О до h- На втором этапе пр исходит разгон двигателя до заданной скорости (э. д. с).

где начальное для этого интервала напряжение управлення зависит от значения э. д. с. двигателя Ео в момент начала интервала / = 0:

Uo= L {Ео+1+Х2„).

Такнм образом, алгоритм \ правления переходным процессом при наличии ограничения по току имеет вид

и„; 11)2>0; Х2<:Хг; рн

Непосредственное нспачьзованне уравнения (1.125) затруд няется тем обстоятельством, что нам известен лишь вид функции ij:2, но неизвестны постоянные Ci и Сг.

Задача дальнейшего расчета оптимальной САУ заключаете в определении моментов перехода от одного интервала управл! ния к другому.

Преобразуем уравнения (1.127) по Лапласу и решим относи тельно Xi:

х,= -P+y+J+tKP+O-fio-r-fso

где Хю, Ха

вТр+вр+1 - начальные значения координат.

Заменим эти значения их изображениями: Aio=pXio, Х2о=рАз Тогда

Xt=X,o+ Лиалогично найдем

-pU„+Ey+f-X,a-TpX2,

Хг=Х2о+

вТр+вр+1 {ри„-Еу-[+Хш) ер- (вр+1) Аа

егр2+ер+1

Введем новые переменные, связанные с xi и хз уравнениями

Xi = X,o-Aty,-\-Biy2: Х2=Х2о-А2у,+В2У2.

Постоянные А,, Лз. Bi и Ва определим из выражений

- У-ТрХго Л, . В,

- --=-----1

е7р2+ер+1 7,р+1 Тгр+\

Увр-{вр+\)Х2« Лз , В2

07p2+ep+i Пр+\" Т2Р+\

(1.128)

V=pu-Ey-{+Xio: Ti+T2=e: TJ2=QT.

Постоянные времени Ti и Tz обратны соответствующим корням характеристического уравнения 07р2--ер--1=0.

Для рассматриваемого примера 7i= -l/pi=0,0725 сек; 7-=-1/р2= =0,0275 сек.

Пз формулы (1.128) получим: F7.-7X,„

Tt-Tz Кв-(в-7,)А:го

Tt-Tz Ve-(e-T2)X2o

Ti-Tz • Ti-Tz

Переменные yi и yz определяются уравнениями: 1 - 1

(1.129) (1.130)

</i =

р(Г.Р+1) •

У2 =

Р{Т2Р+\)

Следовательно,

1/,= 1-е-т.; j,,= l-e-

(1.131)

При наличии ограиичеиия по току управление должно выпол* няться так, чтобы система как можно скорее достигла граничного значения Х2.= Х2м, после чего разгон будет происходить при постоянном значении x2m=const. В заключительной части переход ного процесса необходимо снова использовать максимальное по модулю управление, так чтобы система в наиболее короткое время пришла к заданному установившемуся состоянию. После окончания переходного процесса управление должно поддерживать установившийся режим движения.

В интервале движения, когда ХгХгм, как видно из уравнений! (1.127), управление должно изменяться по закону

х*.=

(1.133)

A=A,/Ej: В-=В,/Е,: А1=Аг/Хш; ВВ./Х,,,. (1.134)

Для построения фазовой траектории, проходящей через заданную точку установившегося режима (т. е. через начало координат), примем начальные значения координат равными заданным Л,„=0; Лг»=0.

Тогда при u = по формулам (1.129). (1.130), (1.134).

(500-200-20) .0,0725

(0.0725-0,0275) 200 (500-200-20)-0,0275

- =2,26;

А.-=В.-

(0,0725- 0,0275)-200 (500-200-20) -0,1 0,045-30

=0,86;

=20,7.

Уравнения (1.1J3) после подстановки чнстсииых коэффщнентов буду иметь вид:

ж,-=-2,26б.,-Ю,86у2.

л-=20,7 (!/.-£;,).

При и--U4 аналогично получим:

Л,-=-5.8; в,-=-2,2; Аг= В-

Уравнения для i, н хг в этом случае будут:

х, = 1-3.8б!„-(-1.4б№; 1 .x,- = -53,3(B.-s„). /

(1.135)

(1 136)

При опредслеини линии переключсиия, которой является фазовая траск тория, идущая в начало координат, мы приняли, что :.аданиые координаты

1 в этом параграфе чвеэдочкой отмечаются относительные значнгая со ответствующнх иеличии.

система получает в момент времени /=0. Поэтому весь переходиый процесс предполагается происходящим при /<0, чему, как это видно из формуты (1 131), соответствуют отрицательные значения и

Задавшись значениями у, а определив по формуле (1.132) у,, по уравнениям (1.135) и (1.136) вычислим соответств>ющие vi* и хз*. Зависимость x2*=/(xi). пoлvчeинaя на основании этих расчетов, представлена иа рис 138 кривыми 0L, для и=+и» и OL для u = ~Vm.

Рис. 1..18. Ф.1)овая траектория системы оптимального управления.

При пуске двигателя из иеподвижиого состояния дсйсгвительвые нач8.1ь-иые ус-товня (при / = -0) будут: = 1; X,-=G. Для этих усювип при и=+и„ Д,-=3.86; В,=1,46: А.-=В-=ЛЬ.Ъ и

х,-=1-3,86<,.-(-1,46»,. х=* = :й,5(й~й,)

(1.137Р

В этом случае процесс происходит при />-0 н. следователыи), fri>0 а 1/г>0. Фа:юван траектория, построенная по уравнениям (1.137), пока.зана на рнс 1.38 Кривой OtN. Из рисунка видно, что полнн! фа.зовын портрет пере-годного процесса состоит гз трех участков. Движение, начавшись из точки Oi. происходит при управлении u=t/„ по фазовой траектории 0\hl до тех пор, нока в точке М координата х.* ие Д(кгнгнет предельного значения Xi* = l Затем на yiacTKe МК поддерживается постоя1шое значенне динамического токэ (xa* = l=const).

В точке К конец изображающего вектора системы попадает на .1ииию переключения, соответствующую и=-1/„. Двигаясь дальше по траектории ОЦ, система приходит к установившемуся режиму (изображающая точка попадает в начало координат), после чего для поддержания заданной скорости на вход системы должно подаваться напряжение

Ej+t

Исключив из эти\ уравнений время, получим виражение, связывающее переменные j/i и 1/2:

№= 1 - (1 -44)е. 1 - (1 -у,) е«. (1.132)

Построение фазовых траекторий системы удобно производить в относительных единицах. Примем дг*=л;/£у= 1-е; .»•;=

=л-2/ДГ2.м = (.-;Ло) Тогда