ф.= -

-F DV+P •

В=Тр+\; Y=Typ+\\ D=fiTif-+Qp+l:

Р=рКс - оптимизируемая функция;

Ас - п. ф. пос.чедовательного корректирующего устройства;

- возмущающее воздействие; f=/,У?о- коэффициент усиления системы. Вследствие несовпадения действительной и желаемой п. ф. процесс будет осуществляться с некоторой ошибкой, изображение которой имеет вид

Изображение сигнала динамического тока

Интегральные квадратичные значении ошибки и сигнала динамического тока:

Для упрощения математических операций преобразуем эти уравнения в область комплексного переменного р. Согласно теореме Парсеваля [21], для любых функций x(t) которые: а) равны нулю для всех отрицательных значений t (нулевые начальные условия слева от =0); б) ограничены для всех значений t и в) стремятся к нулю по крайней мере с такой же скоростью, как и функция е~" прн стремлении t к бесконечности (е - малая положительная величина), справелтиво равенство

1х(1)]Ы1= j x(t) j Х(р)е- dpdt.

о 1 о -JOO

- обратное преобразование Лапласа функ-HHH.v(0;

Х{р) - изображение функции x(t). При указанных условиях для .v(/) можно изменить порядок интегрирования правой части посчеднего уравнения, интегрируя вначале по t. В результате получим уравнение

h-<t)Vdt= Xip)Xi-p)dp= ~ix(p)X(p)dp.

где Х{~-р)=Х(р). Звездочка сверху означает, что в операторе Х(р) произведено изменение знака р. Прн дальнейшем изложении будем писать вместо Х{р) просто X, а вместо Х{~р) - символ X. Условия существования x(t) определяют область сходимости для преобразований Лапласа Х{р) и Х{-р).

В нашем случае в соответствии с теоремой Парсеваля можем написать:

+J" +JCO

= -Щ (j*"-*" ~0)FF-dp= J tidp;

Подставив в ifi и if: выражение Фв, получим:

4)2=

DY+P DY+P- KoKt

Равенство (2 62) выполняется [19, 21] прн условии

где Н(р) - функция, имеющая все полюса и нули в правой полуплоскости комплексной переменной р.

Структурная схема системы приведена на рис. 2.33,0. Передаточная функция системы относительно возмуи1ающего воздействия

После дифференцирования найдем

DY+P

(2.63)

где H,(p)=H(p)(DY+P-)/B-YF-.

Так как рассматриваемая система устойчива, то все множители, образующие функцию Н,{р), имеют полюса только в правой полуплоскости. Поэтому И,{р) также может иметь полюса только в правой полуплоскости.

Разложим выражение I-b

иа множители:

где V=]+kep: F*=l-ftep

Разделив выражение (2.63) на V*

Фж BYFV

Обозначим

DY+P

получим Я.(р)

и представим это выражение в виде

(2.64)

(2.65)

(2.66)

где й,- - полюса, функции Z, лежащие в левой полуплоскости; bh - полюса, расположенные в правой полуплоскости. Подставив выражение (2.65) в формулу (2.64), найдем

BYFV DY+P

(2.67)

Обе части равенства (2.67) представляют собой функцию аналитическую на всей плоскости р, т. е. постоянную веаичину, которая равна нулю, i ак как при ;ьоо левая часть уравнения обращается в нуль. Поэтому

Ш/ DY

Подставив в формулу (2.65) значения IcRo=\, по формуле (2.66) получим

f и I и обозначив

где>41»-1(р) и СС

1 + +...+ р р+а, р+а„.

рСШ(р)

1(р) - полиномы от степени т; т - порядок знаменателя желаемой точной функции.

Следовательно.

переда-

Чр)]

(2.68)

П (тр+1) (Мр+1) gi-1 (р)-Ус(егрюр-ц)Л1

усим(р)

Оптимизируемая функция Р датжна удовлетворять условию физической осуществимости, которое состоит в юм, что порядок числителя этой функции должен быть не выще порядка знаменателя. Поэтому параметры желаемой передаточной функции необходимо выбрать так, чтобы г \-2 {г - порядок оператора Y) старщих членов положительного и отрицательного полиномов числителя взаимно уничтожились.

Для обеспечения достаточной свободы выбора неопределенных множителей Лагранжа н постоянных времени желаемого процесса необ.ходимо. чтобы удовлетворялось равенство

py4p)Qp)

л-И1"Ч(р)

(2.69)

обеспечивающее получение наиболее простого корректирующего устройства. Здесь Yp) - оператор преобразователя порядка г; Q"(p) - оператор, определяемый разностью полиномов числителя [см. формулу (2.68)]. имеющий первый порядок.

Отсюда следует, что порядок знаменателя женаемой передаточной функции

т=г+1.

На основании уравнения (2.69) может быть получена передаточная функция корректирующего устройства Лс=Р/(!. В случае безынерционного усилителя (=0) в уравнении (2.65) может быть непосредственно использована желаемая передаточная

функция Фнц.

При применении инерционного усилителя (/"=!, 2, ...) нахождение желаемой передаточной функции может быть выполнено методом последовательной оптимизации. Если, например, г=1.

X1>>.,FF==H{p). (2.70)

Обозначим:

v,v/-=i+--; v.=n-ft,ep; г;=1-адр.

Преобразовав уравнение (2.70), получим

- [Z„]++*„,f К.=Я,(р) + [Zo]-=0-В ЭТН.Х уравнениях

Z„= где

(гр+1)р(1-А,ер)

(Tp+l)vcf

р(7-жР-Ы)

т - -

Следовательно,

(tp+I)vcP

fV, Р(Г„р+1)(Мр+1)

(2.71)

Полученное выражение подставляется затем в формулу (2.65), после чего по уравнению (2.69) можно определить передаточную функцию корректирующего устройства.

В случае г=2 желаемая передаточная функция оптимизируется аналогично предыдущему. Исходя из Фяи определяется новое значенне передаточной функции Фж=Фж2.

Пример 2.10. Выбрвть корректирующее устройство для системы эаектро-привода с ииерциоииым преобразователем, имеющим передаточную функцию Aii=P/(7jp-t-l). Исходные данные re же, что и в примере 2.7, 6=0,4 сек; 70,05 сек; Т,=О,01 сек; р-=9; Vc = 0.1. Желаемая передаточная функция описывается уравнением (2.71). Определим оператор Z, согласно формуле

z= У(ТР+) i 1

(т„р+1) {к,0р+1) р (i-feep)

./at аг а, ai \

w(--1-;:-ГГ- + - •- -

Р 7„р--1 *,ер-)-1 "-Агвр-Ц/

где ki - множитель Лагранжа, входящий в выражение Фиа;

- множитель Лагранжа, появляющийся в результате повторной оптимизации.

Определив коэффициенты ai, az и аз, получим:

УсМ11(р) рСИ(р)

ЛЯ(р) =(„p!-t-(„p-)-; С1Ч(р) = (Г»,р-(-1) (*,вр-Ц).

(*i-l-fe) (7„-ьА2е) (7„-t-*,e) •

(к,+кг){т„+кл)(гт+ка) "

(2.72)

(2.73)

Подставив значение AV-\{p) и С\ч{р) в формулу (2.68), увидим, что положительный и отрпцательиый полиномы числителя имеют четвертый порядок Так как разность этих полиномов QI4(p) должна быть первого порядка, то коэффициенты при р, р н р должны быть равны нулю. При этом получаем следующие условия осуществимости оптимизируемой функции;

= [(*i-l-fe)?»-i-*ifce]-

(2.74)

ь2=*1*.в7-„

{\Л-т„)т1(к,+к:,)т~к,кгтш\е

(2.75) (2.76)

При выполненнн этих условий передаточная функция корректирующего устройства

(gp-H)(7jP-fl) tsP-t-bip-t-l = т„+т+ (A.-(-fe-v.) 0-vcb,.

ТО следует сначала нанти выражение оптимизированной передаточной функции исходя из Фук~Фто. Пусть Фж1 - иркомзя же-лаемая передаточная функция. Тогда, приняв условие оптимизации (2.62), можем написать:

+JDO +jtX>

+JO0

Аналогично предыдущему