G(y-Cx)

Наблюдатель

= det{Ep -А-ВК) det{Ep - А + Gq .(11.14)

Рис.11.6. Структура замкнутой системы с наблюдателем полногопорядка

Учитывая выражение для ошибки наблюдения х = х - х . вычтем из первого уравнения третье:

А+ВК ВК

О A-GC

Характеристический полином замкнутой системы с наблюдателем имеет вид Ер-А-ВК -ВК

tr Ep-A + GC

Первый сомножитель представляет собой характеристический полином замкнутой системы без наблюдателя, а второй - характеристический полином наблюдателя. Корни характеристического полинома системы определяют ее показатели качества, а корни полинома наблюдателя - точность наблюдения. С целью уменьшения ошибки наблюдения х в переходных режимах наблюдатель рассчитывают так, чтобы его быстродействие в несколько раз превышало быстродействие системы. Поэтому корни характеристического полинома наблюдателя выбираются в 3-4 раза больше по модулю, чем корни полинома системы.

Пример 11.1. Выполнить синтез наблюдателя полного порядка для объекта, структура которого показана на рис. 11.7. Запишем уравнения объекта:

Xj = ai2(x2 ~ F);

X2 = 0211 + «222 + bu ; y = Xx,

где u = fei(u3 -Xj)-A2i2 «12 =1/m; «21 =«22 "/Т; Ь/Т ~ Структура наблюдателя определяется на основании его дифференциальных уравнений:

О aiajxi

.«21 «22.

11 12р1-1 121 22! О

Гр+1

Xi=Xy- Xi

Наблюдатель

fli2l-3-

Рис.11.7. Система управления скоростью с наблюдателем полного порядка

Выполняя операции в левой части и переходя к операторным изображениям, получаем:

pxi = 012X2 + gu(xi - xi);

рх2 = 211 + «222 + 21 (1 -xi) + bu

Xl = -(«12*2 + 11(1 - *l)) • P

*2 = -(«211 + «222 + S2l(Xi - Xl) + bu) . P

В соответствии с последними уравнениями на рис. 11.7 составлена структура наблюдателя. Параметры системы ki и kz рассчитывают методом распределения корней исходя из заданных показателей качества. В случае модульного оптимума характеристический полином системы

Р -0.12

- а2\ + bk-y р - а22 + где a-i = bk2 - а22у = aizibk - а2\), должен иметь корни Pl 2 = "Сс ± /а . Тогда для параметров устройства управления получаются выражения fej = (2а /«12 + «21)/ b, kz = (2а -i- 022) / b. Параметры gn и 21 наблюдателя рассчитываются аналогично. Характеристический полином наблюдателя имеет вид iVjj = Aet{Ep -A + GC), где

= det(£p -A- BK) =

= p +aiP + aQ,

поэтому

P + Sn -«12 - «21 + 21 P- 2

= (p - ll)(p - «22) + «12(21 - «21) =

= P +ан1Р + ЯнО. где ai = gii - «22 ; «нО = «12(21 - «21) - n«22 •

в соответствии с модульным оптимумом корни полинома наблюдателя Рн1,2 - -и - Jh Тогда требуемые значения коэф-

фициентов полинома: ai = 2ан ; ао = 2а, где обычно выбирается в 3-4 раза больше, чем а. Для параметров наблюдения получим выражения:

11 = «22 + ; 21 = (2ан + iia22)/(ai2 + «21) =

= (2ан + («22 + 2ан)«22)/(а12 + «2l) • Для значений параметров объекта: aj2 = 5 ; «21 = «22 ~ ; b = 500 при *р = 0,1 с; a=3/tp= 30 cl; Он = За = 90 с"! получаются следующие параметры устройств управления и наблюдения: fel = 0,62; k2 = 0,02 ; g = 130; 21 = 2736 .