уравнений (2.10) в начале, в конце и в середине рассчитываемого шага:

Щ.2 = fiiLk + "11,1/2, X2,k + T"i2,i/2, .... Xn,k + Tw„,i/2, uitk + T/2));

ffii,3 = fiixi,k + -"1,2/2, X2,k + тт2,2/2.....Xn,k + т"г„,2/2, u(tk + т/2));

mi,4 = + T"ii,3. X2,k + T"i2,3.....rt.ft + т"г„,з, u(fft + т)).

После этого на текущем шаге решаются разностные уравнения

Xi,k+i = Xi,k+ ("li.i + 2/7ii 2 + 2т;,з -1- /гад)т/6. Существует большое количество численных методов, различных по точности и затратам времени на вычисления. Целесообразность применения того или иного метода зависит от особенностей решаемой задачи.

Линейные дифференциальные уравнения в отличие от нелинейных имеют аналитическое решение. Так, уравнение

X = Ах + Ви,

где X - п-вектор переменных состояния (xi, Х2, хУ, А, В - матрицы пхп постоянных параметров, имеет частное решение:

x(t) = ФЦ - to )хЦо )+ JO(f - 9)5u(S)dS,

где X(to) - вектор начальных условий; Ф( - *о) = expA(f - to) - импульсная переходная матрица, т.е. матрица, элементами которой являются импульсные переходные функции.

Способы расчета импульсной переходной функции рассмотрены в литературе. Постоянному интервалу т соответствует постоянная матрица Ф(т). Если интервал т достаточно мал, в его пределах можно считать и(9) = Щ = const. Тогда

= Ф{х)х + Ч(т)Би;, (2.11)

где при т = const Ф(т) и Ч(т) - матрицы пхп постоянных коэффициентов. Уравнение (2.11) является разностным уравнением в рекуррентной форме. Здесь

Ч(т) = Ф(т - 9)d9 = (Е - Ф(т)), о

где Е - единичная матрица гахп.

Пример 2.2. Рассчитать выходную величину у звена, описываемого операторным уравнением

Ь2Р + bxP + bQ

i/(P) =-----и{р). (2.12)

0-2? +a.iP + ao

Введем вектор состояния х = {xi, X2):

Xl(p) =

X2iP) =

a2P + aiP + aQ pu(p)

a2P + ttj J3 + Qq

Тогда справедливы уравнения:

Xl = X2;

dn Oil 1

X2 =--Xl - -2 + - uit); 0-2 «2 2

у = cixi + C2X2 + du

или в векторно-матричной форме:

X = Ах + Ви;

у = Сх + Du,

где Ci, С2, d определяются, если приравнять последнее выражение у в операторной форме к (2.12):

cixi (р) + С2Х2 (р) + du{p) =

Ь2Р +bp

и{р).

Отсюда

(ci +С2Р)и{р)

Ъ.)Р +b-ip + br,

+ duip) = -i---- и(р).

а2Р +aiP + aQ 2Р +<IiP + Oq

Приводя к общему знаменателю и приравнивая коэффициенты при равных степенях р в числителях, получаем:

Ci + aod = 62;

С2 + aid = bi;

da2 - b2.

Отсюда находим: d = b2/"2;

ci = ba - aod; 2 = 1 ~ i--

Матрицы A, B, C, D рассматриваемой системы имеют вид:

Импульсная переходная матрица может быть определена приближенно с помощью разложения в ряд Тейлора:

1 о о 1

ао аз

ajao -002+"!

ФП Ф12

"I

.Ф21 Ф22.

Ф12 «Т-

2а2 а2Т аадт

(-аоаз +af )т2

Переходная матрица также получается на основании разложения в ряд Тейлора:

Е-Е-At-

= £т -1- -2!

1 О о 1

Ч21 М22.

2ао 2a2jy

где 5= т; «= tV2; vj>2i « -аот(2а2); V22 = т " а1т2/(2а2)-Система разностных уравнений имеет вид:

=Ф111,а +Ф122.а +

Ф12 «2 Ф22

2,а+1 = Ф211,а + Ф222,а +--"а

Выходная величина определяется по последней формуле системы (2.13), где учитываются выражения cj, с2, rf:

I 02 1 ai6o bui

X\.k+\

i -:- 12,л+]

1 Зак 2031