Мнимая ось в плоскости корней является отображением границы области устойчивости в плоскости параметров (или коэффициентов уравнения). Метод построения границы Х)-разбиений заключается в том, что в исследуемом уравнении производится замена р на jco, а ю получает значения от -оо до -foo. Для каждого значения ю находятся коэффициенты или параметры, обращающие левую часть уравнения (5.23) в нуль. Геометрическое место таких значений и дает границу области устойчивости.

Обычно в конкретных задачах почти все параметры систем конструктивно заданы, и мы можем менять в некоторых пределах только один или два параметра. Поэтому задача выделения областей устойчивости практически сводится к построению границы 2?-разбиений в плоскости одного или двух параметров.

Х)-разбиение по одному параметру может быть использовано в тех случаях, когда возникает необходимость исследовать влияние на устойчивость одного из параметров системы регулирования. Остальные параметры при этом являются жестко заданными. Граница Х>-разбиения может быть построена в этом случае в плоскости искомого параметра, выраженного в виде комплексной переменной.

Представим характеристическое уравнение системы в виде Nip) = Niip) + f>N2(p) = О, (5.24)

где р - искомый параметр; Ni(p) - часть характеристического уравнения, не содержащая параметра р.

Решив уравнение (5.24) относительно Р, получим

Р = -Ni{p)/N2{p). Подставив вместо р граничное значение jm, найдем выражение для р в комплексном виде:

р = -l(ю)/2(/ю) = р(ю) -f jQim).

Кривая, построенная в координатной системе Р и jQ при различных значениях и, является границей Х>-разбиений в плоскости этих координат. Следуя по этой кривой от значений со = -оо до значений ю = -foo, мы будем оставлять слева плоскость, которая является отображением левой полуплоскости корней и представляет область устойчивости. Граница области устойчивости отмечается штриховкой слева при следовании по кривой от ю = -оо до

со = -1-00.

Так как параметр р является вещественным числом, то нас интересует только отрезок вещественной оси, попадающий в область устойчивости. Все значения параметра, определяемые координатами этого отрезка на оси абсцисс, окаймленного штриховкой, соответствуют устойчивому состоянию системы.

с отрицательным статизмом

Тр+1

Тр-1

Передаточные функции звеньев первого и второго порядков с отрицательным статизмом имеют вид:

P-l ap+bp-1

Передаточная функция идеального форсирующего звена К = Тр + 1.

Форсирующее звено можно представить как параллельное соединение двух элементов - пропорционального звена с коэффициентом усиления, равным единице, и идеального дифференцирующего звена.

Структурно устойчивой называется такая система, которая может быть сделана устойчивой путем выбора соответствующих параметров без изменения ее структуры. Структурно неустойчивая система будет неустойчивой при любых значениях параметров, и ее можно сделать устойчивой, только изменив структурную схему.

Впервые вопрос определения структурной устойчивости систем автоматического управления был поставлен И.И.Гальпериным. Однако эта задача в общем виде в настоящее время не решена. Только для некоторых классов одно- и многоконтурных структурных схем сформулированы частные признаки, по которым можно судить о структурной устойчивости системы.

5.9. СТРУКТУРНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ САУ

Структурная схема САУ состоит из звеньев, число, свойства и характер соединения которых выбираются в соответствии с требуемыми статическими и динамическими характеристиками системы. Помимо типовых динамических звеньев, приведенных в п.3.1, в состав системы могут входить и другие звенья, например консервативное, звенья с отрицательным статизмом, форсирующие звенья и др. Звенья с отрицательным статизмом относятся к группе неустойчивых. Консервативное звено можно представить как колебательное с малым трением (декрементом затухания), которым при исследовании целесообразно пренебречь. Передаточная функция консервативного звена с положительным статизмом

рассмотрим примеры структурных схем структурно неустойчивых (рис.5.9, а и б) и структурно устойчивой (рис.5.9, в) систем.

ТуР + 1

Tip+l

Tip + 1

Тр +2еТ2Р + 1

Рис.5.9. Структурно неустойчивые (а, б) и структурно устойчивая (в) системы

на схеме рис.5.9, а основная цепь воздействий состоит из инерционного и консервативного звеньев, которые охвачены обратной связью, имеющей коэффициент передачи, равный единице.

характеристическое уравнение замкнутой системы найдем по выражению

1 + W(p) = 1+ KxKi = 0. после подстановки значений К у и К 2 из структурной схемы получим

ТуТр+Тр+Typ + l + kyk2 =0.

согласно критерию гурвица,

ТуТ -TiT{l + kik2)<0,

так как при положительных значениях Ту, гг, ky и kz это условие приводится к виду

-kyk2 < 0.