Рис.6.4. Распределение корней по Баттерворту для л = 2 (а), п = 3 (б), п = 4 (в) и по модульному оптимуму при п = 2 (а) и п = 4 (г)

Аналитически значения корней выражаются следующим образом:

для нечетного п

Pi.1,2 =Яехр(;(-л±1ф)) = -а ±;сог, (6.3)

где = Hcosiip; со/ = Яз1шф, i = О, 1, 2, -

для четного п

Pi,1,2 = Яехр

= -а, +joii

где п - порядок уравнения; i - номер корня.

(6.4)

на рис.6.3, а. На рис.6.3, б представлены переходные функции, соответствующие точкам 1-6 границы этой области. Переходные функции удовлетворяют заданным ограничениям на время регулирования ti < tp t2.

По заданным показателям качества распределение корней может быть выбрано не единственным способом. При расположении двух или трех доминирующих корней в области заданного качества остальные корни должны располагаться в левой полуплоскости и быть по модулю значительно больше доминирующих корней, чтобы не оказывать cJЩecтвeннoгo влияния на динамику. Кроме того, возможно применение различных стандартных распределений корней. Например, при распределении по Баттервор-ту все корни принимаются равными по модулю, а углы между векторами корней на комплексной плоскости равны ф = п/п, где п - количество корней, совпадающее с порядком полинома системы. В качестве примеров на рис.6.4 представлены распределения по Баттерворту для п = 2 (а), п = 3 (б) п = 4 (в).

6.3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ

Интегральные методы позволяют по некоторым определенным интегралам вида

ОО СО 00

jxdt;

jxdt;

х+хх

0 0 о

судить о быстродействии (первый и второй интегралы), а также о быстродействии и колебательности (третий интеграл) процесса.

Метод интегральных оценок заключается в определении параметров системы, соответствующих минимуму интегральной ошибки. При использовании первого интеграла (предложено

В.С.Кулебакиным в 1940 г.) стремятся получить минимум линейной интегральной ошибки, представляющей площадь, ограниченную кривой переходного процесса и осями координат (рис. 6.5). В идеальном случае процесс перехода из одного состояния (х = Xq) в другое (х = 0) происходил бы мгновенно и площадь, характеризующая линейную интегральную ошибку, равнялась бы нулю. В действительности же при апериодическом процессе интегральная ошибка зависит от интенсивности спадания величины x(t). Время регулирования тем меньше, чем меньше интегральная ошибка. В случае перерегулирования и колебательного процесса данный интеграл неприменим, так как разные знаки ординат кривой могут дать суммарную интегральную ошибку, близкую к нулю при относительно большом времени регулирования.

В практике больше распространена оценка быстродействия по квадратичной интегральной ошибке. Метод основывается на том, что действительная кривая x(t) тем ближе к идеальной, чем

Рис.6.5. Оценка быстродействия по линейной интегральной ошибке

меньше

xdt.

Распределение корней, соответствующее модульному оптимуму, при п = 3 совпадает с распределением по Баттерворту, а при тг = 4 представлено на рис.6.4, г. В последнем случае имеют место две пары одинаковых комплексно-сопряженных корней.

аз Jx(3)x(2)df = a3 о

(6.5)

так как если обозначить и = х и dv = xt, то du = xdf, а V = jxdt = x . Следовательно,

аз]х(3)х(2)й = аз (х) f " -as]xixidt, о 0 0

откуда получаем уравнение (6.5).

Для устойчивой системы при f = со функция X и все ее производные обращаются в нуль, а при t = О имеют начальные значения Xq, и Xq . Поэтому

Аналогично получим:

ajx(l)x(2)dt = -a2(40

Способ вычисления квадратичных оценок заключается в следующем. Дифференциальное уравнение системы п-то порядка умножают последовательно на координату и ее производные до (п - 1)-й включительно. Полученные п уравнений интегрируют почленно, и система линейных алгебраических уравнений разрешается относительно соответствующей интегральной оценки. Пусть, например, система регулирования описывается уравнением третьего порядка

адХЗ) +а2Х> +aix + UqX = 0. Умножив это уравнение поочередно на х\ x<i и х, получим систему трех новых уравнений:

азх(3):с(2) + «2 (х f + aix(l)x(2) + «„хх) = 0;

азх(3)х(1) + а2х(2):с(1) + а, [х f + ахх = 0;

asX>x + a2x>x + aix-x + aQX =0.

Интегрируем почленно эти уравнения. Каждый член интегрируется по частям до получения конечного результата. Так, например,