6.8. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Основные положения. Оптимальным процессом называют наилучший в определенном смысле процесс, который не только переводит систему из начального состояния в заданное конечное, но и удовлетворяет определенной оценке качества. Так, при необходимости получить высокую производительность, критерием служит быстродействие, при необходимости экономии энергии - минимум потерь энергии. Обычно критерии оценивают процесс в целом, ставя ему в соответствие определенное численное значение. Таким образом, устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством функций времени (процессов) и множеством чисел (значений критерия). Такое соответствие называется функционалом. Функционалы, качества представляют собой интегральные оценки (интегральные критерии) вида

J= \fo{xi,X2,...,x„,u)dt. (6.14)

В частности, это может быть одна из интегральных оценок, рассмотренных в п.6.3. Критерий быстродействия также можно представить как интегральный при /о = 1. т.е.

J= \dt = tf - tQ. to

Оценка качества процессов в форме функционалов позволяет выработать математическую постановку задачи определения оптимальных управлений в следующ;ей форме. Для объекта, описываемого уравнениями (2.5), необходимо определить сигнал управления и е U {U - замкнутая область в пространстве управлений) таким образом, чтобы минимизировать или максимизировать критерий качества (6.14).

Обычно рассматривается минимизация критерия, так как задача максимизации приводится к ней простой заменой знака перед выражением критерия. При этом объект должен быть переведен из начального состояния Xq = x(tQ) в заданное конечное состояние Xf = X{tf).

На переменные состояния системы х могут быть наложены ограничения в виде системы неравенств

g{x) < О, (6.15)

где g{x) - векторная функция, определяющая в пространстве состояний область, допустимую для переменных х. В системах управления электроприводами наиболее характерны ограничения скорости, ускорения, тока, момента двигателя по модулю

где х,, 1 = 1, 2, га, - наибольшие допустимые значения переменных.

Решение задачи оптимального управления может быть получено в виде функции времени u(t) либо в виде функции переменных u{Xi, Х2.....x„). В последнем случае найденное управление определяет структуру и параметры замкнутой системы, т.е. является синтезирующим управлением. Решение в виде u(t) задает программу оптимального движения.

Управляемость и наблюдаемость. Сформулированная задача оптимального управления имеет решение лишь в том случае, если объект обладает свойством управляемости.

Объект называется полностью управляемым в заданной области (6.9), если для любой пары точек внутри этой области Хо = x(to) Vi Xf = x(tf) существует допустимое управление я и g U, которое за время tf - to переводит объект из точки Хо в точку Xf. Свойство управляемости фактически означает возможность формирования любого требуемого процесса путем надлежащего выбора сигнала управления.

Для линейного объекта

х = Ах + Ви, (6.16)

где А - матрица пхп; В - матрица пхг; х - га-вектор; и - г-вектор, существует критерий полной управляемости. При известном начальном условии х{0) = Хо частное решение системы (6.16) определяется по формуле Коши:

x{t) = {expAt)xo + jexpA{t-Q)Bu{d)dQ. (6.17)

Управляемость означает, что из последнего уравнения можно определить и(6) при любом x{t). Так как уравнения линейны, без ограничения общности можно задать конец траектории, совпадающий с началом координат x(t) = 0. Тогда, умножив обе части выражения (6.7) на exp(-At), получим t

ехр(-Ae)Bu(e)de =-лго . (6.18)

Матрица уравнению

А удовлетворяет своему характеристическому

А" + а„ 1 А"" + а„ 2"" + ••• + «И + = О, следовательно, А в степенях, ббльших или равных п, линейно выражаются через А, А, А"~. Поэтому

exp(-Ae) = "z а(-е)А*. k=0

где ttft - скалярные коэффициенты, зависящие от Oq, «1, a„ i и от 6.

Выражение (6.18) преобразуется к виду

A*Bju(e)afe(-e)de = -xo.

k=0 о

Правая часть записывается как произведение матриц

Ju(e)a0(-e)de о

BABAB...A-B

Ju(e)a„ i(-e)de

10 20

IXnOi

УС/ = -хо,

где У - матрица пхгп; U - -вектор; q = гп.

Данная система в скалярной записи имеет вид

+г/12"2 +--- + г/1д«д =-1о;

(6.19)

J/nl«l +г/п2«2 +- + Упдд = "пО • Полная управляемость системы означает наличие ненулевых решений Ui(t), i = 1, 2, g. Поскольку q > п, для достижения этого необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы у был равен д. Тогда система (6.19) будет иметь при q = п единственное решение, а при q > п бесчисленное множество решений. Матрица У=[БАВА2б ... А«-1В] (6.20)

называется матрицей управляемости. Критерий управляемости формулируется так: чтобы система (6.16) (или пара А, В) была вполне управляемой в пространстве переменных, необходимо и достаточно, чтобы матрица У имела ранг п. Если гапкУ = т < п, то в пространстве х имеется т-мерное подпространство, где система управляема, т.е 5шравляемы т переменных состояния, принадлежащих этому подпространству.