2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ИССЛЕДОВАНИЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

2.1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ

Сигналы являются материальными носителями информации, обусловливающей функционирование систем автоматического управления. Они делятся на регулярные (детерминированные) и случайные.

Регулярным называется сигнал, математическим представлением которого является заранее заданная функция времени. К основным типам регулярных сигналов относятся периодические, почти периодические и непериодические сигналы.

Периодические сигналы представляются функцией времени, удовлетворяющей условию f(t) = f{t + Т), где Т - некоторая постоянная, называемая периодом.

Почти периодические сигналы являются функцией времени, представляемой суммой гармонических составляющих с произвольными частотами. Почти периодические сигналы могут получиться в результате, например, сложения двух синусоид с некратными частотами.

Непериодическими называются регулярные сигналы, заданные функцией времени в пределах конечного (ti < t < 2) или полубесконечного (ti < t < -boo) интервала времени, вне которого она тождественно равна нулю.

Случайный - это сигнал, который не может быть описан заранее заданной функцией времени. Для математического представления случайных сигналов используются методы теории вероятностей и статистической динамики.

В технике управления применяются как непрерывные, так и дискретные сигналы. Непрерывный сигнал представляет непрерывную функцию времени. В некоторых случаях эта функция может иметь разрывы первого или второго рода, приобретая при этом конечные или бесконечные значения.

Дискретные сигналы могут быть дискретными по уровню, по времени или и по уровню, и по времени.

Для исследования динамических свойств САУ пользуются типовыми сигналами, к которым относятся ступенчатый, импульсный, гармонический, линейно-возрастающий и др.

Рис.2.1. Ступенчатый сигнал

Ступенчатый сигнал (рис.2.1) - один из наиболее простых видов сигналов, используемых при расчете переходных процессов в САУ. Он представляет функцию времени, которая в момент f = О достигает значения А = const и остается далее постоянной. При t < О t x(t) = 0. Математически ступенчатая функция записывается в виде

А при t 0;

x{t) = А 1(f) =

О при t < О,

1(0 =

где Ut) - единичная ступенчатая функция:

1 при t > 0; О при t < 0.

При А = 1 получаем единичный ступенчатый сигнал.

Изображение по Лапласу ступенчатой функции имеет вид:

Рис.2.2. Импульсные сигналы

Импульсный сигнал можно рассматривать как предел прямоугольного импульса высотой Л и длительностью Л* при Л -> ао, Л* -у О, площадь которого ЛА = А (рис.2.2, а). Он представляет производную от ступенчатого сигнала

x(t)=Al(t)

xit)=Ad(t),

5(.) =

причем J5(f)dt = 1.

Изображение по Лапласу импульсной функции x{t) = A?)(t): L[x{ty\ = А,

т.е.

Д5(0] = 1. Для прямоугольного импульса (рис.2.2, б) x(0=A[l(f-Ti)- 1(<-Т2)], а изображение этой функции по Лапласу:

L[x{t)] = А(е-1 - е-Р)р. Для импульса трезгольной формы (рис.2.2, в) изображение по Лапласу:

L[x{t)] = 2A(l-e-Pf/{Lp).

Гармонический (синусоидальный или косинусоидальный) сигнал широко используется при исследовании частотных свойств элементов и систем автоматического управления. Он представляет функцию времени вида

x(t) = Asin(coi -I- ф). Преобразование по Лапласу гармонического сигнала:

L[x(ty\ = cos Ф ± sin ф А р + Р

Линейно возрастающий сигнал преимущественно применяется при исследовании динамики следящих систем. Он выражается линейной функцией времени

x(t) = at.

где а - коэффициент. Изображение по Лапласу этого сигнала примет вид:

L[x(t)] = а/р2.

Помимо линейно возрастающего сигнала, в некоторых случаях используются сигналы вида: x(t) = at - квадратичная функция времени; x(t) = at - кубическая функция времени и др.

где 5(t) - дельта-функция, равная производной l() от единичной ступенчатой функции 1(f). Математически дельта-функция выражается так:

О при t 0; оо при f = О,