0 12

,3456789 ft

Рис.8.2. Непрерывная (а) и решетчатая (б) функции

гумента t мы имеем целочисленный аргумент k (номер интервала времени).

Решетчатой функцией называется действительная функция целочисленного аргумента.

Применяются также смещенные решетчатые функции fik,E), которые задаются для моментов времени кТ + еТ, где -1 < £ < 1. Для решетчатых функций вводятся разности различных порядков, которые аналогичны производным для непрерывных функций. Разность первого порядка

4+1-4=Д4+1- (8.2)

Разность второго порядка

AVfe+i =A/fe+i -A/ft.

(8.3)

Разность j-го порядка выражается рекуррентным соотношением

AVfe+i=A"Vfe+i-A-Vfc. (8.4)

или, с учетом выражений разностей,

А4+1 = i:(-i)«o-4+w

где Uij = iI/(/I(i - ;")!) - биномиальные коэффициенты.

Уравнение, содержащее решетчатую функцию и ее разности различных порядков, называется уравнением в конечных разностях, или разностным уравнением. Линейное разностное уравнение имеет вид

ajAj/fe + al lA-Уk + ... + aQi/ft = и . (8.5)

Заменяя разности их выражениями, пол5им разностное уравнение в рекуррентной форме

Ук = &il/fe-l + Ь2Ук-2 + + biyk-i (8.6)

Наиболее часто применяются системы разностных уравнений первого порядка в рекуррентной форме. Они могут быть получены в результате применения к системам дифференциальных уравнений первого порядка

x = f(x,u(t)) численных методов и имеют вид

xt,k+l = i,k + Tfi (Xk ,«л ). (i - l,...n).

Преимущество разностных уравнений заключается в простоте их решения по шагам, начиная от печальных условий, путем последовательной подстановки в правую часть результатов предыдущих шагов.

Дискретное преобразование Лапласа. Дискретное преобразование Лапласа является функциональным преобразованием решетчатых функций. К£1К известно, непрерывная функция времени имеет изображение по Лапласу:

Fip) = "lnt)exp(-pt)dt. О

Если в эту формулу подставить текущее время в виде t = ATjj, где к = 1,2,..., то интеграл можно заменить суммой

(/(А)) = т2/(А)ехр(-р/еГ), (8.7)

или в относительных единицах q = рТ

Dif(k))= Y.nk)exp(-kq). (8.8)

Для смещенных функций

D{f(k,E))= £/(ft,E)exp(-q,ft). (8.9)

Дискретное преобразование Лапласа имеет смысл только в том случае, если ряд, стоящий в правой части уравнений (8.8), (8.9) сходится. Параметр преобразования q в общем случае - комплексное число

q = а + /со.

Чем больше значение а, тем быстрее сходится ряд (8.8). Абсциссой сходимости называется такое значение а = ас, для которого при а > ас ряд сходится, а при а < ас расходится. Изображение решетчатой функции в комплексной плоскости есть периодическая вдоль мнимой оси функция

Fiq) = F{2rmi + q).

Поэтому функция F(q) полностью определена в полосе, соответствующей -к < (£> < п.

Обратное преобразование Лапласа производится по формуле

Пк) = D-(F(q)) = - lF(q) exp(qk)dq.

Для смещенной решетчатой функции

/(А,е)=- lF(,q,E)exp(qk)dq,

где - символ обратного дискретного преобразования Лапла-

са, с - произвольная постоянная, удовлетворяющая условию

Z-преобразование. Для определения реакции системы на дискретные сигналы наиболее удобно 2-преобразование, которое получается из дискретного преобразования Лапласа, если в выражение (8.7) ввести обозначение

2 = ехр(д) = ехр(р7). (8.10)

Тогда получим

F(p) = TY.f(kT)2-. (8.11)

fe=0

Второй сомножитель правой части уравнения (8.11) называют односторонним 2-преобразованием импульсной функции

Fiz)= ffikT)z~ =Zif{kT)). (8.12)

На основании этого выражения составлены таблицы 2-преобразования (например, табл.8.1).

Переход от 2-преобразования к функции времени f{kT) выполняется путем обратного преобразования:

f{kT) = -,\F(z)z-dz. (8.13)

Интегрирование ведется по окружности \z\ = ехр(с7), где с - абсцисса абсолютной сходимости.

Если требуется определить f(kT) лишь для некоторых к, можно использовать разложение в ряд (8.12)

F(2) = /(0) -I- /(7)2-1 + + f(nT)Z-.