Таблица 8.1

Пример 8.1. Необходимо определить f(kT) по заданному г-изображению

F{z) =

(2-2)(2-1)2 1-42-1+52-2-22- Разложение в ряд получается непосредственным делением числителя на знаменатель

F(2) = 22-2 + 82-3 + 222-4 + Отсюда получаются дискретные значения функции времени f(0) = О, f(T) = 0. /(2Т) = 2, ДЗТ) = 8, f(AT) = 22 как коэффициенты .при степенях г.

При анализе дискретных систем z-преобразование позволяет определить реакцию системы только в моменты квантования. Для нахождения выходной величины в промежуточные моменты времени применяется модифицированное г-преобразование. Для этого следует квантовать f(t) при t = (к + z)T, где О < е < О, что равносильно смещению fit) на величину еГ. Модифицированное z-преобразование имеет вид

F(2,e)= f;/(ftт + et)2-

fe=0

Отметим, что lim Р{г, б) = J(z).

Выходной сигнал в промежутке между импульсами может быть получен по формуле обращения

f{kT + еГ) = JF{z, Eydz, z = ехр сТ, 2nf

или путем деления числителя на знаменатель г-изображения, как показано в примере 8.1.

Свойства 2-преобразования. Если fi(k) и f2(k) имеют z- изображения Fi(z) и 2(2), то их сумма имеет 2-изображение

Z[fi {k)+f2 {k)]=Fi {z)+F2 (z). (8.14)

Сдвиг во времени на п интервалов производится в соответствии с выражением

Z[/(A-n)]=z-"F(2). (8.15)

Здесь везде F(z) = Z[/(ft)].

Умножение оригинала на экспоненту приводит к смещению в области изображений.

Z[/(ft)exp(aO] = F(2exp(aO), (8.16)

где а - постоянная величина.

Если существует предел F(z) при г оо, то

lim/(ft) = lim F(z). (8.17)

Если (1 - 2~i)F(z) не имеет полюсов на окружности единичного радиуса или вне ее на г-плоскости, то

lim /(А) = lim 6. - 2~0 /(z). (8.18)

Последние два выражения позволяют определить начальное и установившееся значения функции f(k).

8.3. ИМПУЛЬСНАЯ ТЕОРЕМА

Если непрерывную зависимость в результате квантования заменили решетчатой функцией, происходит потеря части информации. Такая потеря информации происходит и в результате работы импульсных модуляторов. В пределе, при бесконечной частоте квантования, получается непрерывный сигнал. Представляет интерес нижний предел частоты квантования. В самом деле, если частота низка, непрерывный сигнал за один интервал может весьма существенно измениться. Следовательно, может оказаться невозможным восстановление исходного сигнала по его решетчатой функции. Импульсная теорема сформулирована и доказана

В.А.Котельниковым в 1933 году. В соответствии с этой теоремой, если сигнал не содержит частот выше чем сОс, он полностью описывается своими значениями, измеренными в дискретные моменты времени с интервалом Т = п/Шр.

Однако сигналы с ограниченным спектром физически не существуют. Вследствие того что амплитуды высокочастотных составляющих сигналов обычно ослаблены, можно приближенно считать, что спектр сигнала ограничен. Одн£1Ко Фогель (L.J.Fogel) доказал, что если частота сигнала не выше сОс, то он полностью определяется значениями, определенными через интервалы Т =

1 / ,л 2л

= -(.n + ll-, для производной до п-го порядка и для значении

2 СОс

самой функции.

8.4. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ

Передаточная функция разомкнутой импульсной системы, состоящей из идеального импульсного элемента и приведенной непрерывной части, может быть получена на базе 2-преобразова-ния

К{г}=Щ, (8.19)

где х(г), и(г) - 2-преобразования соответственно выходной величины и входного воздействия. Вместо выражения (8.19) можно использовать формальную запись

К{г) = = z[Kip)] = z[k (р)К„ [р)

Здесь Кф{р) - передаточная функция формирующего звена; Кн{Р) - непрерывной части системы.

Передаточная функция замкнутой импульсной системы определяется выражением

Ф(г) = = iii

где кос - коэффициент усиления канала обратной связи. В результате преобразований можно получить выражение