М(х(Ц))= lxiw(Xi,ti)dxi .

Моментом k-го порядка случайной величины называется выражение

М(х)= \xw{x)dx.

Момент первого порядка совпадает с МО случайной величи-ньк (9.1).

Центральный момент второго порядка называется дисперсией и выражается соотношением

D(x) = МЦх - mf) = ](х - mfw(x)dx. (9.2)

Дисперсия характеризует рассеивание значений случайной величины относительно ее МО. Во многих случаях вместо дисперсии используется среднеквадратичное отклонение случайной величины:

пределения системы случайных величин x(ti) и xt) при произвольно выбранных значениях t, t,. Этот закон устанавливает связь значений, принимаемых случайным процессом в различные моменты времени tj и tj.

Математическое ожидание (МО) случайной величины х представляет среднее значение х случайной величины, вычисленное с учетом вероятностей всех возможных ее значений:

т=х= lxwix)dx, (9.1)

где и>(х) - плотность вероятностей случайной величины, определяемая дифференциальным законом ее распределения: w(x) = dF(x) / dx; F(x) - интегральная функция распределения

случайной величины: F{x) = р(-<х> <Х<х); р - вероятность события: Ра = Иш v / N ; v/N - частота события А; v - число, noo

показывающее, сколько раз произошло событие А при количестве опытов N.

Математическое ожидание (среднее статистическое значение) случайного процесса в момент времени аналогично выражению (9.1) определяется по формуле

9.2. КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ

Корреляционная функция является мерой взаимной связи между значениями случайной функции x(ti) и x(t2) в моменты времени, разделенные интервалом т.

Пусть, например, электрическое напряжение некоторого источника в момент времени ty было достаточно большим. Если т мало, то маловероятно, что напряжение в момент t2 = ti + т: будет сильно отличаться от x(ti). При больших значениях т x(ti) может принять любое возможное значение, т.е. при больших т значения x{ti) и x{t2) можно считать независимыми случайными величинами. С уменьшением т взаимозависимость этих величин возрастает. Степень взаимной связи их определяется корреляционной функцией, которая имеет вид

со 00

Rcihh) = M(xi(fi)x2(<2)) = 1 \xyX2W2(xi,X2,h.t2)dxidx2 . (9.3)

- 00 -со

Как. видно из формулы (9.3), корреляционная функция представляет МО произведения значений случайной функции в моменты времени и fg- Корреляционная функция, отображающая связь значений одной и той же случайной функции, называется автокорреляционной. Существует взаимно корреляционная функция, которая показывает связь значений двух случайных функций x(t) и y(t):

00 00

Rxyitvh) = M(.x(,ti)yit2)) = J lxiy2W2(.Xi,y2,ti,t2)dXidy2 .

-00 -00

Слзгчайные процессы обычно делят на стационарные и нестационарные. Стационарным в узком смысле называют процесс x(t), если его п-мерная плотность вероятности wXi, Xg, х; fi,

t2.....f„) при любом п зависит от величины интервалов t2 ~

f„ - fj и не зависит от положения этих интервалов в области изменения аргумента t. Двухмерная плотность вероятностей стационарного случайного процесса

W2(X-y,X2,h,t2) = W{Xi,X2,T) , т = «2-1- (•4)

Стационарным в широком смысле называют процесс x{t), МО которого постоянно (не зависит от времени):

Дисперсия случайного процесса в момент времени ti аналогично соотношению (9.2) определяется по формуле

M(x(t)) = mit) = = const, (9.5)

a корреляционная функция Д(<1,<2) зависит только от разности

Riti.tz) = RA-). (9.6)

В случае стационарного случайного процесса выражение (9.3) для корреляционной функции запишется так:

со со

Rix) = Mixiit)x2(t + т)) = I jxiX2w(,xi,X2,x)dxidx2 .

-со -00

Случайный процесс, стационарный в узком смысле, обязательно является стационарным и в широком смысле. Процесс, стационарный в широком смысле, может быть нестационарным в узком смысле.

Случайные процессы, не удовлетворяющие условиям (9.4)-(9.6), относятся к нестационарным.

Большинство стационарных процессов обладает свойствами эргодичности (эргодические процессы). Общим свойством эргоди-ческих процессов является то, что статистические характеристики, полученные усреднением по времени при достаточно большом интервале наблюдения одной реализации, совпадают с характеристиками, полученными усреднением по множеству реализации для фиксированного момента времени. Другими словами, наблюдение случайного процесса на одном объекте в течение достаточно длительного времени дает в среднем те же результаты, что и наблюдения, проведенные в одно и то же время на большом числе объектов одного типа.

Для стационарного случайного процесса благодаря его эргодичности среднее по множеству х , т.е. МО т, можно определять как среднее по времени х:

00 л Т

т = M(,xit)) = lxwix)dx = lim - lx(t)dx .

7->oo 2T rp

Случайная функция (и величина), МО которой равно нулю, называется центрированной. Соответственно случайную функцию можно представить как сумму МО т и центрированной случайной функции Хо, т.е.

x(t) = m(t) + Xo(t).

Для эргодического процесса корреляционная функция имеет вид

R(i) = lim - {xit)xit + x)dt; r->oo 2Г jj.