![]() |
|
Главная Промышленная автоматика. М(х(Ц))= lxiw(Xi,ti)dxi . Моментом k-го порядка случайной величины называется выражение М(х)= \xw{x)dx. Момент первого порядка совпадает с МО случайной величи-ньк (9.1). Центральный момент второго порядка называется дисперсией и выражается соотношением D(x) = МЦх - mf) = ](х - mfw(x)dx. (9.2) Дисперсия характеризует рассеивание значений случайной величины относительно ее МО. Во многих случаях вместо дисперсии используется среднеквадратичное отклонение случайной величины: пределения системы случайных величин x(ti) и xt) при произвольно выбранных значениях t, t,. Этот закон устанавливает связь значений, принимаемых случайным процессом в различные моменты времени tj и tj. Математическое ожидание (МО) случайной величины х представляет среднее значение х случайной величины, вычисленное с учетом вероятностей всех возможных ее значений: т=х= lxwix)dx, (9.1) где и>(х) - плотность вероятностей случайной величины, определяемая дифференциальным законом ее распределения: w(x) = dF(x) / dx; F(x) - интегральная функция распределения случайной величины: F{x) = р(-<х> <Х<х); р - вероятность события: Ра = Иш v / N ; v/N - частота события А; v - число, noo показывающее, сколько раз произошло событие А при количестве опытов N. Математическое ожидание (среднее статистическое значение) случайного процесса в момент времени аналогично выражению (9.1) определяется по формуле 9.2. КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ Корреляционная функция является мерой взаимной связи между значениями случайной функции x(ti) и x(t2) в моменты времени, разделенные интервалом т. Пусть, например, электрическое напряжение некоторого источника в момент времени ty было достаточно большим. Если т мало, то маловероятно, что напряжение в момент t2 = ti + т: будет сильно отличаться от x(ti). При больших значениях т x(ti) может принять любое возможное значение, т.е. при больших т значения x{ti) и x{t2) можно считать независимыми случайными величинами. С уменьшением т взаимозависимость этих величин возрастает. Степень взаимной связи их определяется корреляционной функцией, которая имеет вид со 00 Rcihh) = M(xi(fi)x2(<2)) = 1 \xyX2W2(xi,X2,h.t2)dxidx2 . (9.3) - 00 -со Как. видно из формулы (9.3), корреляционная функция представляет МО произведения значений случайной функции в моменты времени и fg- Корреляционная функция, отображающая связь значений одной и той же случайной функции, называется автокорреляционной. Существует взаимно корреляционная функция, которая показывает связь значений двух случайных функций x(t) и y(t): 00 00 Rxyitvh) = M(.x(,ti)yit2)) = J lxiy2W2(.Xi,y2,ti,t2)dXidy2 . -00 -00 Слзгчайные процессы обычно делят на стационарные и нестационарные. Стационарным в узком смысле называют процесс x(t), если его п-мерная плотность вероятности wXi, Xg, х; fi, t2.....f„) при любом п зависит от величины интервалов t2 ~ f„ - fj и не зависит от положения этих интервалов в области изменения аргумента t. Двухмерная плотность вероятностей стационарного случайного процесса W2(X-y,X2,h,t2) = W{Xi,X2,T) , т = «2-1- (•4) Стационарным в широком смысле называют процесс x{t), МО которого постоянно (не зависит от времени): Дисперсия случайного процесса в момент времени ti аналогично соотношению (9.2) определяется по формуле M(x(t)) = mit) = = const, (9.5) a корреляционная функция Д(<1,<2) зависит только от разности Riti.tz) = RA-). (9.6) В случае стационарного случайного процесса выражение (9.3) для корреляционной функции запишется так: со со Rix) = Mixiit)x2(t + т)) = I jxiX2w(,xi,X2,x)dxidx2 . -со -00 Случайный процесс, стационарный в узком смысле, обязательно является стационарным и в широком смысле. Процесс, стационарный в широком смысле, может быть нестационарным в узком смысле. Случайные процессы, не удовлетворяющие условиям (9.4)-(9.6), относятся к нестационарным. Большинство стационарных процессов обладает свойствами эргодичности (эргодические процессы). Общим свойством эргоди-ческих процессов является то, что статистические характеристики, полученные усреднением по времени при достаточно большом интервале наблюдения одной реализации, совпадают с характеристиками, полученными усреднением по множеству реализации для фиксированного момента времени. Другими словами, наблюдение случайного процесса на одном объекте в течение достаточно длительного времени дает в среднем те же результаты, что и наблюдения, проведенные в одно и то же время на большом числе объектов одного типа. Для стационарного случайного процесса благодаря его эргодичности среднее по множеству х , т.е. МО т, можно определять как среднее по времени х: 00 л Т т = M(,xit)) = lxwix)dx = lim - lx(t)dx . 7->oo 2T rp Случайная функция (и величина), МО которой равно нулю, называется центрированной. Соответственно случайную функцию можно представить как сумму МО т и центрированной случайной функции Хо, т.е. x(t) = m(t) + Xo(t). Для эргодического процесса корреляционная функция имеет вид R(i) = lim - {xit)xit + x)dt; r->oo 2Г jj. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 [86] 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 0.0019 |