взаимно корреляционная функция

стационарного

Ли(т) = lim -

Рис.9.2. Корреляционная функция стационарного случайного процесса

Для стационарного случайного процесса корреляционная функция имеет вид, покгизанный на рис.9.2.

Коэффициентом корреляции (нормированной корреляционной функцией ) называется отношение

M((x(t) - m){x(t + т) - т))

D{x) M((x(0 - rtixf)

Коэффициент корреляции при изменении т от О до оо изменяется от 1 до 0.

Взаимно корреляционные функции не являются четными. Их основные свойства можно охарактеризовать выражениями:

RxyЬ) = Ryxi-); Rx(Sy)Ry(0) > {Rxyi)f

Корреляционная функция может быть вычислена и для неслучайных функций. Например:

x(t) = asin(cuf + ip) . Корреляционная функция

1 f 2

Д(т) = Иш Ja sin((uf -н ф)5ш((й( -\-z) + (fi)dt =

= lim

J -;;-(coscoT - cos(2cof + (ОТ + 2ф))< = (а /2) cos сот .

7->со2Т у 2

Из примера видно, что полученная корреляционная функция имеет тот же период, что и функция x(t), но в отличие от нее является четной и не зависит от начальной фазы.

С помощью корреляционной функции можно выделять полезный сигнал при наличии помехи в исходном сигнале. Например, пусть x(t) = s(t)n(t), где s(f) = asin((of + ф) - полезный

сигнал; n{t) - помеха. Для упрощения будем считать, что среднее значение помехи равно нулю, полезный сигнал s(t) и помеха n{t) взаимно независимы, т.е. их взаимно корреляционные функции „(т) и Д„з(т) равны нулю. Тогда корреляционная функция исходного сигнала x(t)

Riz) = M((s(t) + nms{t + т) + n(t + т)) = = M(s(t)s(t + т)) -н M(sit)n(t + т)) + M(s(t + T)n(f)) + M(,n(t)n(t н- т)) = = КДт) + Л«„(т) + Д„(т) + Д„(т) = ДДт) + Л„(т).

Рис.9.3. Корреляционная функция суммы полезного сигнала и помехи

9.3. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ

Для определения спектральной плотности случайной функции x(t) введем вспомогательную функцию

\x(t) при - Г < f < Г;

[о при t<-T,t>T.

Для функции Xjit) выполним преобразование Фурье:

ХгрЦ(й)= \XT.(t)exp(-i(ut)dt = Ix(t)expi-j(ut)dt,

-co -T

где Xjijcu) - текущий спектр процесса x(t), называемый амплитудой спектральной плотности.

Спектральной плотностью процесса x(t) является

5(ю) = Иш I Хг(/(п) f /2Т.

Г->со

Спектральную плотность можно считать энергетической характеристикой случайного процесса. Можно показать, что спектральная плотность 8х{<й) пропорциональна плотности распределения мощности в спектре:

S{a) = 2ndP/ da .

Спектральная плотность является прямым двусторонним преобразованием Фурье от корреляционной функции, т.е.

5((о) = Дд.(т)ехр(-/(вт)Л .

(9.7)

Согласно предыдущему примеру, корреляционная функция полезного сигнала s{t)

ЛДт) = (а/2)соз(от ,

а корреляционная функция Л„(т) помехи n{t) как случайной функции с равным нулю средним значением с ростом т стремится к нулю. Поэтому при достаточно большом т корреляционная функция Д(т) исходного сигнала x(t) равна корреляционной функции Лз(т) полезного сигнала s{t), что дает возможность вычислить частоту со и амплитуду а полезного сигнала (рис.9.3).

Используя спектральную плотность S(cd), можно определить корреляционную функцию R(t) с помощью обратного преобразования Фурье:

R(t) = - JS((u) exp(-;(BT)(i(B .

2п

(9.8)

Найденные выражения для корреляционной функции и спектральной плотности позволяют отметить следующие основные их свойства:

1) спектральная плотность S((o) - действительная и четная функция от (о:

00 00

S((u) = IД(т) cos mdt = 2 \R(,t) cos mdi;

-00 0

2) если Д(т) - монотонно убывающая функция от т, то S(co) тоже монотонно убывающая функция;

3) чем шире график корреляционной функции Д(т), тем уже график спектральной плотности S((u). Это соответствует физической сущности процесса: чем медленнее процесс, тем меньшее значение в процессе имеют высокие частоты;

4) если в течение Ат -> О

Д(т) тоже стремится к нулю, то корреляционная функция вырождается в 5-функцию. Спектральная плотность S(co) такого процесса оказывается постоянной во всем диапазоне частот. Такой спектр характеризует процесс, который называется белым шумом (рис.9.4, а);

5) для постоянной составляющей x(t) корреляционная

функция Д(т) = , а спектральная плотность 5(со) представляет 5-функцию при 03 = О (рис.9.4, б);

6) для сигнала a;(f) = <isin((uo* + ф) R{i) = {a /2)cosa)o. а спектральная плотность 8{<й) представляет две 5-функции при

со = ± (Оо .

Рис.9.4. Корреляционная функция и спектральная плотность белого шума (а) и постоянной составляющей (б)