![]() |
|
Главная Промышленная автоматика.
взаимно корреляционная функция стационарного Ли(т) = lim - Рис.9.2. Корреляционная функция стационарного случайного процесса Для стационарного случайного процесса корреляционная функция имеет вид, покгизанный на рис.9.2. Коэффициентом корреляции (нормированной корреляционной функцией ) называется отношение M((x(t) - m){x(t + т) - т)) D{x) M((x(0 - rtixf) Коэффициент корреляции при изменении т от О до оо изменяется от 1 до 0. Взаимно корреляционные функции не являются четными. Их основные свойства можно охарактеризовать выражениями: RxyЬ) = Ryxi-); Rx(Sy)Ry(0) > {Rxyi)f Корреляционная функция может быть вычислена и для неслучайных функций. Например: x(t) = asin(cuf + ip) . Корреляционная функция 1 f 2 Д(т) = Иш Ja sin((uf -н ф)5ш((й( -\-z) + (fi)dt = = lim J -;;-(coscoT - cos(2cof + (ОТ + 2ф))< = (а /2) cos сот . 7->со2Т у 2 Из примера видно, что полученная корреляционная функция имеет тот же период, что и функция x(t), но в отличие от нее является четной и не зависит от начальной фазы. С помощью корреляционной функции можно выделять полезный сигнал при наличии помехи в исходном сигнале. Например, пусть x(t) = s(t)n(t), где s(f) = asin((of + ф) - полезный сигнал; n{t) - помеха. Для упрощения будем считать, что среднее значение помехи равно нулю, полезный сигнал s(t) и помеха n{t) взаимно независимы, т.е. их взаимно корреляционные функции „(т) и Д„з(т) равны нулю. Тогда корреляционная функция исходного сигнала x(t) Riz) = M((s(t) + nms{t + т) + n(t + т)) = = M(s(t)s(t + т)) -н M(sit)n(t + т)) + M(s(t + T)n(f)) + M(,n(t)n(t н- т)) = = КДт) + Л«„(т) + Д„(т) + Д„(т) = ДДт) + Л„(т).
Рис.9.3. Корреляционная функция суммы полезного сигнала и помехи 9.3. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ Для определения спектральной плотности случайной функции x(t) введем вспомогательную функцию \x(t) при - Г < f < Г; [о при t<-T,t>T. Для функции Xjit) выполним преобразование Фурье: ХгрЦ(й)= \XT.(t)exp(-i(ut)dt = Ix(t)expi-j(ut)dt, -co -T где Xjijcu) - текущий спектр процесса x(t), называемый амплитудой спектральной плотности. Спектральной плотностью процесса x(t) является 5(ю) = Иш I Хг(/(п) f /2Т. Г->со Спектральную плотность можно считать энергетической характеристикой случайного процесса. Можно показать, что спектральная плотность 8х{<й) пропорциональна плотности распределения мощности в спектре: S{a) = 2ndP/ da . Спектральная плотность является прямым двусторонним преобразованием Фурье от корреляционной функции, т.е. 5((о) = Дд.(т)ехр(-/(вт)Л . (9.7) Согласно предыдущему примеру, корреляционная функция полезного сигнала s{t) ЛДт) = (а/2)соз(от , а корреляционная функция Л„(т) помехи n{t) как случайной функции с равным нулю средним значением с ростом т стремится к нулю. Поэтому при достаточно большом т корреляционная функция Д(т) исходного сигнала x(t) равна корреляционной функции Лз(т) полезного сигнала s{t), что дает возможность вычислить частоту со и амплитуду а полезного сигнала (рис.9.3). Используя спектральную плотность S(cd), можно определить корреляционную функцию R(t) с помощью обратного преобразования Фурье: R(t) = - JS((u) exp(-;(BT)(i(B . 2п (9.8) Найденные выражения для корреляционной функции и спектральной плотности позволяют отметить следующие основные их свойства: 1) спектральная плотность S((o) - действительная и четная функция от (о: 00 00 S((u) = IД(т) cos mdt = 2 \R(,t) cos mdi; -00 0 2) если Д(т) - монотонно убывающая функция от т, то S(co) тоже монотонно убывающая функция; 3) чем шире график корреляционной функции Д(т), тем уже график спектральной плотности S((u). Это соответствует физической сущности процесса: чем медленнее процесс, тем меньшее значение в процессе имеют высокие частоты; 4) если в течение Ат -> О Д(т) тоже стремится к нулю, то корреляционная функция вырождается в 5-функцию. Спектральная плотность S(co) такого процесса оказывается постоянной во всем диапазоне частот. Такой спектр характеризует процесс, который называется белым шумом (рис.9.4, а); 5) для постоянной составляющей x(t) корреляционная функция Д(т) = , а спектральная плотность 5(со) представляет 5-функцию при 03 = О (рис.9.4, б); 6) для сигнала a;(f) = <isin((uo* + ф) R{i) = {a /2)cosa)o. а спектральная плотность 8{<й) представляет две 5-функции при со = ± (Оо .
Рис.9.4. Корреляционная функция и спектральная плотность белого шума (а) и постоянной составляющей (б) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 [87] 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 0.0024 |