7) при т = О Л(0) = х= D{x) + 7п. Учитывая формулу (9.8), можем записать:

- fS((u)dcu = R(0) = х =al+ml. (9.9)

Выражение (9.9) позволяет находить среднеквадратичное значение случайной функции по известной спектральной плотности. При гПх = О дисперсия стещионарной случайной функции пропорциональна площади, ограниченной кривой спектральной плотности 8((й) и осью абсцисс:

JS((u)cf(u = .

2-со

9.4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ

ЛИНЕЙНЫМИ СИСТЕМАМИ

Рассмотрим систему, на вход которой поступает случайное воздействие x{t). Выходной сигнал u{t) системы представляет случайный процесс, характеристики которого обусловливаются характеристиками входного сигнала и свойствами системы.

Если заданы входной сигнал x{t) и импульсная переходная функция (т), то выходной сигнал u(t) находим с помощью интеграла свертки:

00 оо

U(t)= \xix)g(t-l)dT= \xit-T)g(T)dT.

-со -00

Корреляционная функция для выходного сигнала в случае эргодического процесса

1

R(x) = lim -- \uT(t)uT(t + T)dt.

тоо 2Г j,

Корреляционные функции входного g и выходного и сигналов связаны соотношением

00 оо

Rui)= I J(ti)g(t2)/?(ti - Т2 + t)dtidt2 . (9.10)

-00 -00

Спектральная плотность выходного сигнала ((о) зависит от спектральной плотности случайного входного сигнала 18(03) и п.ф. системы Ф(;сй). Подставим в формулу (9.7) выражение (9.10). Тогда

Sui(u)= (ti)expy(ut„dti J(T2)exp(-;(ut2) X

8и((й) = Ф(/со)Ф(-Усй)5;,(со) = I Ф(Усо) 2 S;,(co), (9.12)

где Ф(;сй) = Ф{p)pj - п.ф. системы, равная преобразованию Лапласа от импульсной переходной функции.

Формула (9.12) сравнительно проста и часто применяется для исследования стационарных случайных процессов. Из нее может быть получено более простое выражение дисперсии выходного сигнала:

1 00 ,00

D(u) = - fSa(co)dcu =- П Ф(;сй) 2s(co)dcu . (9.13)

Пример 9.1. На вход системы с передаточной функцией

Ф(р) =---

(Tp + l)p + k

поступает стационарный случайный сигнал x(t), спектральная плотность которого

S;,(co) =fl •2а/(а2 +со2). Определим спектральную плотность S„(co) выходного сигнала, если Т = 0,1 с; А = 10 е~; = 1; а = 1. В соответствии с формулой (9.12)

SJa) = I А/(/со(Г;со + l) + k) f 2а/(сх + со) =

= (fe /lik-T(йf +(ufa 2а /(а + со). Подставив численные значения, получим

S(co) = (100/((10 - 0,1(0 f + (й)) • 2/(1 + со) =

= 200/((1 + со)(0,01со - со + 100)) .

X lRx(4 - "2 + т:)ехр(-/со(т:1 - Т2 + т:))йт: (9.11)

10. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

10.1. ОСОБЕННОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

И ТИПЫ НЕЛИНЕЙНОСТЕЙ

Нелинейной называется система, среди элементов которой есть хотя бы один с нелинейной зависимостью между его выходным и входным сигналами. В такой системе в большинстве случаев процессы не могут быть исследованы методами линейной теории. Кроме того, при исследовании систем с нелинейными элементами не может быть использован принцип суперпозиции.

В практике встречаются автоматические системы, содержащие звенья, которые рассматриваются как элементы, обладающие несущественными нелинейностями. По отношению к ним можно применять методы линейной теории, если исследование динамики системы ограничено методами, основанными на линеаризации дифференциального уравнения в сравнительно небольшой окрестности наиболее характерных точек нелинейных характеристик звеньев. Однако создание большого класса систем связано с необходимостью использовать существенно нелинейные элементы в объектах и управляющих устройствах. Эти системы требуют специальных методов исследования.

Для нелинейных систем характерна работа в режимах, принципиально неосуществимых в линейной системе. К таким режимам относятся смена состояний равновесия, в зависимости от начальных условий, автоколебания, дискретное изменение амплитуды сигналов, изменение частоты вынужденных колебаний, зависимость частоты автоколебаний от частоты внешнего воздействия, подавление слабого сигнала сильным.

В практике различают нелинейные элементы с гладкой нелинейной (рис.10.1, а, б) и с кусочно-линейной (рис.10.1, в-и) характеристиками.

Все нелинейные характеристики могут быть разделены на однозначные (рис.10.1, а, г, д, ж, з) и неоднозначные (рис.10.1, б, в, е, и). Неоднозначная характеристика получается, если при увеличении входного сигнала выходная координата изменяется по одной зависимости, а при уменьшении входного сигнала - по другой.

Характеристика, показанная на рис. 10.1, г, имеет линейные зоны (ОА, ОА) и участки насыщения (АВ, А"В")- Она свойственна устройствам с ограниченным изменением выходной координаты.