k - коэффициент передачи двигателя и редуктора; ч/(х) - кусочно-линейная характеристика релейного элемента.

Операторное уравнение относительно ошибки, согласно структурной схеме, выражается соотношением

При исследовании системы на фазовой плоскости рассматривается свободное движение. Поэтому отклонение фз = О, и уравнение (10.7), представленное в дифференциальной форме, примет вид

Тх + Х + k\{x) = О .

Введя обозначение

х = у, (10.8)

найдем

Ty = -y-k(x). (10.9)

Разделив уравнение (10.9) на (10.8), получим дифференциальное уравнение фазовых траекторий:

Tdy /dx =-кц1(х) / у -1 (10.10)

dx =--ТмУУ (10.11)

у + k\]i{x)

где \(х) - величина, постоянная для каждого линейного участка релейного элемента.

Интегрирование выражения (10.11) дает

X = Т(кц,(х)\п(у + кц1(х)) -у) + С , (10.12)

С =-т(кц1(х)\п(уо +м))-г/о) + о. (10-13)

0, Уо - начальные значения координат х, у.

Рассмотрим фазовые портреты системы электропривода с различными релейными элементами.

Для идеального двухпозиционного реле, подставив в соотношение (10.12) 4/(x) = Xgjjx и X = лГвх, из выражения статической х£\рактеристики (см. 10.1) получим

X = T{kbsign{x)ln(y + kbsign(x) -у) + С. (10.14)

Аналогичную подстановку необходимо сделать и в уравнение (10.13).

Релейный элемент (см. рис. 10.1, ж) имеет два линейных участка 1 и 2. Для линейного участка 1 в формулу (10.14) следует подставить ftsign(a:) = b , а для участка 2 - 6sign(x) = ~b .

Уравнение линий переключения х = О, так как эта линия, согласно характеристике реле, совпадает с осью ординат.

Рис.10.5. Фазовые портреты нелинейной следящей системы с различными релеянымя элементами

На рис. 10.5, а приведен примерный вид фазового портрета, рассчитанного этим методом. Он показывает, что система устойчива в целом. Теоретически в подобной двухпозиционной релейной системе в начале координат должны существовать устойчивые автоколебания с бесконечно малой амплитудой и бесконечно большой частотой.

При применении трехпозиционного реле фазовый портрет имеет две линии переключения, параллельные оси ординат и отстоящие от нее вправо и влево на расстоянии а. Уравнение линий переключения х = ±а.

Нелинейная характеристика (см. рис.10.1, з) имеет три линейных участка: участок 1 - при х > а, 2 - при -а < х < а я 3 - при x < -а. Для участков 1 и 3 фазовые траектории рассчитываются по уравнению (10.14) соответственно при ftsignx = ft и t>sign(jt:) = -b.

Для участка 2, соответствующего зоне нечувствительности, Ц1(х) = о и уравнение фазовой траектории имеет вид х = Ту + С. Порядок расчета фазовой траектории аналогичен предыдущему. В качестве начальных условий при расчете последующего участка принимаются конечные значения фазовых координат в конце предыдущего участка на соответствующей линии переключения.

Для построения фазовой траектории, например на участке 2, выбирается произвольная точка с координатами xq и г/о- Затем по уравнению (10.14) для участка 2 при bsign(x) = ~Ь строится фазовая траектория вплоть до линии переключения. Для построения фазовой траектории на участке 1 в уравнение (10.14) подставляется 6sign(x) = b, за начальные условия принимаются конечные значения х и у, полученные на линии переключения при расчете фазовых траекторий на участке 2, и т.д.

* Пф

Ряс.10.6. Нелинейная следящая система: а - структурная схема; б - ее фазовый портрет

Вид фазового портрета изображен на рис.10.5, б. В этом случае система также устойчива в целом. Автоколебгшия здесь отсутствуют.

В случае двухпозиционного реле с гистерезисной характеристикой (см. рис. 10.1, и) на фазовой плоскости будем иметь две линии переключения (рис. 10.5, в), уравнение которых можно представить в виде

\а при у >0; [- а при у <0.

Фазовая плоскость в соответствии с релейной характеристикой (см. рис.10.1, и) делится на два участка 1 и 2. Справа и слева от линии переключения соответственно на участках 1 и 2 фазовые траектории описываются уравнением (10.14) при bsign(jc) = b (на участке 1) и 6sign(jc) = -b (на участке 2). Метод построения полной фазовой траектории (см. рис. 10.5, в) £1налоги-чен предыдущему. Особенностью фазового портрета является наличие устойчивого предельного цикла при определенном, зависящем от параметров системы значении С, что характеризует существование неустойчивости в малом. Наличие устойчивого предельного цикла означает, что в системе возникают автоколебания с амплитудой, зависящей как от параметров системы, так и от ширины гистерезисной петли. Для того чтобы уменьшить амплитуду автоколебаний, необходимо уменьшить величину а. В пределе, при а = О, автоколебания исчезают, а свободный процесс ст£1новится затухающим.

Понятие о скользящем режиме. Введем в структурную схему следящей системы (рис.10.6, а) обратную связь по производной выходной координаты JKд.